CHAPITRE III
DÉRIVÉES d'une FONCTÏON DÉ PLUSIEURS VARIABtBS.
120. Jusqu'ici nous n'avons considéré que des fonctions d'une seule variable; nous allons dire quelques mots des
fonctions de plusieurs variables. Soit /"(a;, y) une fonction de deux variables indépendantes a; et y (on nomme variables indépendantes des quantités qui varient d'une manière tout à fait arbitraire et indépendamment Tune de l'autre). Si, regardant y comme une constante, nous prenons la dérivée de la fonction par rapport à la variable a?, nous aurons ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à œ. De même, si regardant x comme une constante, nous prenons la dérivée par rapport à la variable y, nous aurons la dérivée partielle par rapport à y. Telles sont les deux dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée ; nous les désignerons par les notations f'^ et fy , l'indice indiquant la lettre par rapport à laquelle on dérive.
Si l'on dérive deux fois successivement, soit deux fois par rapport à Xf soit une fois rapport k x et une seconde fois par rapport à y, soit deux fois par rapport à y, on obtient trois dérivées partielles du second ordre que nous désignerons par les notations f!^^ , f^^ , fy». Et ainsi de suite.
Par exemple, soit la fonction
f{^9 y) = 3j?' — 5a:y + y^ — 5a? + 4y -|- a . En dérivant par rapport à a; ou par rapport à y, on a les deux dérivées partielles du premier ordre f'„:^6x^5y^5, i7i = — 5^ + ay + 4.
En dérivant une seconde fois, soit par rapport à a?, soit par rapport à y, on forme les trois dérivées partielles du second ordre
Les dérivées suivantes sont nulles^
448 UYRE V, CHAP. m.
Théorème sur les fonctions homogènes.
121. On dît qu'une fonction entière de x^y^z,... est homogène et du degré w, lorsque la somme des exposants de ces lettres dans chacun des termes est constante et égale à m. Afin de préciser , nous supposerons que la fonction contient trois lettres x, y, z. Chacun des termes est de la forme AxV^» ^t ^*on peut écrire
f{x, y, z) = SAa?ys'.
En prenant la dérivée par rapport à chacune des lettres, on a
f^ = l.nAx^'yz^,
Si Ton multiplie ces dérivées respectivement par a?, y, js, il vient
y/; = S/>Aa?yzS zfg = rjAa?**yPj5'.
On en déduit
^f. + yf'y + ^f. = ^riJrP + q)kx^y'z%
La somme des exposants m-^-n-^-p étant constante et égale à Y?7, on a
xfl-^ryfy+^n = nCùkxyz:^, ou
^fx + yfy + zfz = ^f{^^ y^ z\
Dérivées des fonctions composées.
122. Soit une fonction f{u, v) de deux quantités ti et d qui sont elles-mêmes des fonctions de la variable x; il est clair que y est en définitive une fonction de la variable x. On demande sa dérivée. Si Ton donne à la variable x l'accroissement Aa?, il en résulte pour a et v les accroissements Au et Av, et pour y Taccroisseraent Ay, et Ton a
ou
Ay = /"{w + Aw, V -{- Av) — f{uy V + Aï;) -f /"(w, u + Av) — f{u, v).
En divisant par Ao?, on a
Ay f{u + au, v+ Ai;) — f{u, v -{' ^v) Au ,
De ^u Ax
, f[u, v + ^v) — f[u, v) ^^ Ai; Av , ^x
Supposons maintenant que Aa? tende vers zéro, les rap-
ports T- 6<^ T- tendent vers les dérivées u' et t' des fonc- ^ Aa? Aa?
tiens u et t?. Dans le rapport
f[u,v+Av)'-f[u,v)
Au '
on voit que le numérateur est l'accroissement qu'éprouve la fonction /"(u, v) quand on donne à la variable v Taccroîssement Av, u restant constante ; la limite de ce rapport est donc la dérivée partielle f^u, v) de la fonction /(w, v) par rapport à u, et le second terme a pour limite
150 LIVRE V, CHAP. ni.
Considérons maintenant le rapport
le numérateur est Taccroissement qu'éprouve la fonction /(m, v+Av), quand on donne à la variable u Taccroissement Am; ce rapport, en vertu du principe établi au n** 112, est donc égal à
fi (w, v + ^v) + e,
la quantité s s* évanouissant avec Au. D'autre part, la fonction fit (w, v) étant continue, on a
la quantité e' s'évanouissant avec Av; il en résulte que le rapport considéré est égal à
Si maintenaot on fait tendre Ao; vers zéro, Au et Av tendent aussi vers zéro., ainsi que e et e', et le rapport a pour limite fû{u^ v). La limite du premier terme est donc
On a de la sorte ,
7/ = /; (u, V) Xu' + fM v)Xv'.
Ainsi la dérivée d'une fonction de deux fonctions m et t) d'une même variable x égale la dérivée partielle de la fonction proposée par rapport à u multipliée par la dérivée de u, plus la dérivée partielle par rapport à v multipliée par la dérivée de v.
llxempks.
1** Prenons comme exemple la fonction y = x*, dont nous avons déjà trouvé la dérivée (n°lll). Si Ton pose u = x, tj = x, on a y = M*; d'où, en appliquant le théorème précédent,
2* y = (sin xy. Posant u = sin x, v = 4^, on aura de de même y = u''; d'où
i/=zvur*u* 4-î**Lw.t;' = 4a?cosjp(sina?)**"* + 4{sina7)**L(sinar). Dérivées des fonctions implicites.
123. On dit qu'une fonction est implicite lorsqu'elle est liée à la variable par une équation non résolue. Ainsi l'équation
dans laquelle le premier membre est une fonction quelconque des deux variables x et y, définit une fonction implicite y de X. Si l'on pouvait résoudre l'équation, on en déduirait y =^(x) et la fonction deviendrait explicite.
On obtient aisément la dérivée d'une fonction implicite. En effet, prenons la dérivée de la fonction f{x^ y), dans laquelle nous regardons x comme la variable indépendante, et y comme une fonction de a?; cette dérivée, d'après le théorème précédent, est égale à
f. + f'yXy'- Comme la fonction f{Xi y) est constamment nulle, sa dé-
rivée est aussi constamment nulle, et l'on a Téquation
/'; + /;xy' = o, d'où l'on déduit
Telle est l'expression de la dérivée de la fonction implicite î/.
Exemples.
1** Considérons la fonction implicite y définie par l'équation
On a, d'après la formule que nous venons d'établir,
, aa: — 4.y + 2 2^ — x — i
L'équation proposée, étant du second degré par rapport à y, peut être résolue, ce qui donne
y = 2ar ± \/3a?' —
7iX*
La fonction devenant ainsi explicite, on trouve directement sa dérivée,
Zx — 1
En remplaçant y par sa valeur dans la première expression de y\ on obtient la seconde.
— /\x + Zif
