MT
Quand h tend vers zéro, l'ordonnée M'P' devient égale à MP;
k donc la limite de -, ou la dérivée F\x)^ est égale à l'ordonnée MP, c'est-à-dire à f{x). Ainsi la fonction proposée f{x) est la dérivée de la fonction F(a?) ; et, réciproqueipent, la fonction F{x) est la fonction primitive de f{x).
Il résulte de là qu une fonction continue quelconque a une fonction primitive, que l'on peut représenter p^r une aire plane. Si à la fonction primitive F{x) on ajoute une coûStMte arbitraire C, on aura encore une fonction primitive ¥ix) + C ; car la constante ne donne rien dans la dérivée.
Nous verrons, par ce qui suivra, que Taddition de cette constante c^rbitraire donne toutes les fonctions priipitives de la fonction proposée,
125. Démontrons d'abord que, lorsqu'une fonction a sa dérivée constamment nulle, celte fonction est constante. Im&ginons la fonction figurée par une ligne. Si Ton désigne par a l'angle que fait la tangente à la ligne en un point quelconque avec l'horizontale OX,nous savons (n° 93) que la dérivée de la fonction représente tang a. Puisque la dérivée est constamment
nulle, r^Qgle a est lui-même coustamment nul. Ainsi la ligne en chacun de ses points a sa tangente borizoutale ; ce ne peut êtrq qu'une ligne droite horizontale AB. L'ordonnée HP de chacun des points de cette ligne droite est constante ; on en conclut que la fonction proposée a une valeur constante.
Mais il est bon de démontrer algébriquement cette proposition importante.
5oit f{x) une fonction; en donnant à x F accroissement h, nous avons (n° 112) la relation
e s' évanouissant avec A. Si la dérivée est constamment nuUjS, cette relation se réduit à
f[X'\-h) — f[x)=hz,
Je considère deux valeurs quelconques x^ et X de la variable ar, X étant supposée plus grande que x^ ; je partage rintervu-lte X— ^^^ en » parties égales, et j'appelle A cbaeune da c^s parties. En appliquant la relation précédente à ces divers éléments, on a
f(x^ + ^à)--f[x^ + h) =hz,,
chacune des quantités e^ , s^, Sn-i s' évanouissant
avec h.
Si Ton ajoute toutes ces égalités, les quantités intermédiaires disparaissent et Ton trouve
Appelons e la plus grande des quantités ^o» ^i» ©^
valeur absolue; leur somme sera évidemment moindre que ne , et le second membre plus petit que nfce ou que (X — oîje, puisque nh égale X—x^; on aura donc
Imaginons maintenant que Ton partage Tintervalle constant X — Xq en un nombre de parties de plus en plus grand 5 la grandeur h des parties diminuera indéfiniment ;
toutes les quantités e^ , e^ , , et par conséquent la plus
grande d'entre elles e, tendront simultanément vers zéro, et le produit (X — a? Je s'évanouira.. Il en résulte que la différence f(X) — f{x^) est nulle, c'est-à-dire que les valeurs f(X) et f{x^) de la fonction pour deux valeurs quelconques de la variable sont égales; ainsi la fonction conserve toujours la même valeur : c'est une constante.
126. Soient maintenant deux fonctions F{x) et (p(x), ayant même dérivée f{x) , je dis que ces deux fonctions ne peuvent différer que par une constante. En effet, on a, par hypothèse ,
si l'on retranche ces deux égalités l'une de l'autre, il vient
Mais (f{x) — F'{x) est la dérivée de la fonction (f{x) —F{x) ; puisque cette dérivée est constamment nulle, la fonction est constante ; donc
cp(ar) -- F(x) = C.
Nous avons dit (n** 124) que, lorsqu'on a trouvé une
fonction primitive F (a;) de la fonction proposée, et que Ton y ajoute une constante arbitraire, on obtient une nouvelle fonction primitive F (a:) + C. Il résulte de ce qui précède que Ton forme ainsi toutes les fonctions primitives de la fonction proposée, puisque toute autre fonction primitive ne diffère de la première que par une constante. Cette fonction primitive F(x) + C, renfermant une constante arbitraire, s'appelle, pour cette raison, fonction primitive générale de la fonction proposée.
On peut déterminer la constante de manière que la fonction primitive ait une valeur donnée A pour une valeur donnée a de ^ ; on posera
F(a) + C = A, d'où
Si Ton veut, par exemple, que la fonction primitive s'annule pour a: == a, on posera
F(a)+-C==o; d'où
et la fonction primitive devient F{x) — F (a).
La représentation géométrique de la fonction primitive montre bien que cette fonction renferme une constante arbitraire; car on peut compter l'aire à partir d'une ordonnée initiale AB quelconque (n<»12â), et quand on change la position de cette ordonnée initiale, on modifie évidemment Taire d'une quantité constante. Déterminer la constante de manière que la fonction primitive s'annule pour a; = a, c'est compter Taire à partir de Tordonnée initiale qui correspond à x=za.
127. La recherche des fonctions primitive^ est une opération très-compliquée ; nous nous bornerons aux cas les plus simples. Considérons d'abord une fonction entière
Ao^- + k,x^'' + A,^-* + + A^,^ + K ;
sa fonction primitive est
^?^ + M- + ^^!L- + ^^nizl^^A^x + C;
car, en prenant la dérivée de ce polynôme, on retrouve le polynôme proposé. Ainsi, pour avoir la fonction primitive d'une fonction entière, on augmente tous les exposants Xurte unité et on divise chaque terme par ï exposant ainsi augmenté. Cette opération élève le degré d'une unité. Par exemple, le polynôme
a?' — 5^ + 7 a pour fonction primitive générale
Si l'on veut que la fonction primitive s'annule pour xi=ô, on fera C = o. ,.
La même règle s'applique aux exposants quelconques*
Exemples.
P(*) = g ar^ + C.
F[x) = ax"^ -- boT' -f- dx'-^- -j- G.
128. Voici encore d'autres cas où Ton peut trouver immédiatement la fonction primitive :
io
Qo
/(a?) = sina?,
.. . cosg
F(x) = Lx + G,
P(a;) = arctangar + C,
F(x) = arcsina.- -|- G,
F(à) = arccosaj-f-G,
F(a;) = sin;r -f C, F(x) = — cosa; + G ,
F{x) == tangx + G, F(x) = — cota? + G, F{x) = sécj? -I-G, F(x) = -— coséco? + G.
Souvent le théorème sur les fonctions de fonctions per« met de trouver la fonction positive.
a? -fa*
160 tlVBE V, CHAP. IV,
' + («) -^•/^-) = ?T^ = ^^- F(x) = lL(a« + x«) + C.
On voit ici que, le numérateur 2X étant la dérivée du dénominàteur a* + as», la fonction -^—, — » est la dérivée de L{a* + x*).
7' /ïx) = cosax, F(«) = ?î^^+C,
