La fonction L(i+^) ^ po^r dérivée ■ • En
effectuant la division de i par i -f- ^9 6t ordonnant le quotient suivant les puissances croissantes de x^ on trouve
d'où
Le premier membre admet pour fonction primitive
Si Ton désigne cette fonction par ±7(0?), on a
jttp'(a:) = -î (i a?-|.a:«— a:»+ rpx'''')z=z±~,
ou plus simplement
Nous remarquons d'ailleurs que la fonction <p(x), comme les deux fonctions dont elle est la différence, s'annule avec la variable x.
Supposons (V abord la variable x positive ; la quantité- .
l 'p on
étant positive et inférieure à jj", on aura
Ces deux expressions admettent respectivement pour fonctions primitives
'f(x) et ç(ar).
La fonction ^(ic), ayant sa dérivée positive, va en croissant avec x; comme elle s'évanouit pour a? = o, elle prend des valeurs positives croissantes, quand x croît à partir de o.
La fonction cpfo:;) ; — , ayant sa dérivée név'irative, va
au contraire en décroissant quand x croit; comme elle s'évanouit aussi avec x^ elle prend des valeurs négatives, quand x croit à partir de o ; on a donc
ou
cp(a7)<
Ainsi, pour toutes les valeurs positives de la variable x^
la fonction (p(a;) aune valeur positive inférieure à- , -
Si Ton désigne par 8 une certaine fraction moindre que r unité, on pourra représenter la valeur de ç(a?) par
— ; — , et Ion aura n + 1
SÉRIES LOGARITHMIQUES. 168
- , , . a? ar* , a?' x* , a?* . Oar"^*
Cette égalité est vraie, quelle que soit la valeur positive * attribuée kx. Supposons maintenant que la valeur de a: soit inférieure ou au plus égale à l'unité ; si Ton fait augmenter n
indéfiniment, le terme complémentaire — -j- — tend vers
zéro ; on en conclut que la somme des n premiers termes de la série
tend vers la limite L(i+^) ; on obtient ainsi le développement de L(i 4- 0^) en série convergente
/*» /yt» /f»w n%h
pour toutes les valeurs positives de x inférieures ou égales à l'unité.
130, Donnons maintenant à la variable une valeur négative — X comprise entre o et — i , et proposons-nous de développer la fonction — L(i — x), dans laquelle x a une valeur positive inférieure à l'unité. Cette fonction a pour dérivée
• , expression qui se développe de la manière suivante
1— -a? III 11 j — ^»
on en déduit
iôh LIVRE V, CHAP. V.
Le premier membre admet pour fonction primitive
Si Ton désigne cette fonction par tf(ai), on a
OU plus simplement
Nous remarquons d'ailleurs que la fonction (f(x) s'annulle avec la variable x.
Désignons par a une quantité très-petite, mais déterminée, et supposons que x varie de o à i — a ; la valeur
de la fonction sera positive et inférieure à —(car le
dénominateur i — a: est plus grand que a), et Ton aura
cp'(x) > O,
Ces deux expressions admettent respectivement pour fonctions primitives
*(x) et ç(x)-^jj-p^.
En raisonnant comme précédemment, on voit que la fonction y (a?), ayant sa dérivée positive et s' évanouissant avec ar, prend des valeurs positives croissantes quand x croit de
o à 1 — a, et que la fonction ©(a?) — ; — ; — r- • ayant sa dé-
SÉRIES LOGARITHMiQUES. 166
rivée négative et s'évanouissaDt avec x prend des valeurs négatives. Ainsi la fonction (f{x) a une valeur positive infé-
rieure k-r-r-, — t-\ on peut la représenter par 7 — ; — ?-,
en désignant par une fraction, et Ton a
pour toutes les valeurs de x inférieures ai — a. Si Ton fait augmenter n indéfiniment, le terme complémentaire tend vers zéro; d'où Ton conclut que la somme des n premiers termes de la série
tend vers la limite — L(i — x). On obtient de cette manière le développement de la fonction — L(i — x) en série convergente
pour toutes les valeurs de x inférieures à 1 — a. Comme la quantité a, dont nous avons fait usage dans la démonstration, peut être prise aussi petite que Ton veut, le développement a lieu pour toutes les valeurs de x inférieures à l'unité. On a ainsi
pour toutes les valeurs de x inférieures à l'unité.
Remarquons que Ton déduit Tégalité (2) de l'égalité (1), en changeante» en — x. La série (l) r^eprésente donc la fonction L(i + ^)» quand x varie de — 1 exclusivement à -f 1 inclusivement.
166 UYa£ V, CHAP. V.
Calcul des logarithmes népériens.
131. De la série précédente, on déduit des séries qui servent au calcul des tables de logarithmes. Proposonsnous de trouver une série donnant la différence entre les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs n et n + 1 . Puisque
si dans la série (1) on remplace x par la fraction -, on a
Lin 4- 1) — Ln=: r
Mais cette série ne converge pas assez rapidement, et il faudrait prendre un grand nombre de termes pour avoir les logarithmes avec une certaine approximation.
On arrive à une série beaucoup plus rapidement convergente de la manière suivante : Si Ton retranche Tune de l'autre les deux séries obtenues précédemment
les termes de degré pair se retranchent, ceux de degré impair s'ajoutent, et Ton a
L(.+.)L(.-.)=Li±|=.(î+f+^+ ).
Posons maintenant
CALCUL DES LOGAUmUlES. 167.
d'où
et remplaçons x par sa valeur, nous obtiendrons la série
(3) LÎii^ = L(n+i) — Lw
~^\2n + i + 3(2/1+ if "*" 5[2n+ if "^ J'
qui converge d'autant plus rapidement que le nombre n est plus grand.
132. C'est au moyen de la série (3) que Ton calcule les logarithmes népériens.
En faisant n = i dans cette série , on a
On commencera par réduire en décimales les fractions %9 ¥â » z6 » ' ®° divisant successivement par 9 ; puis
on les divisera par les nombres impairs 1, 3, 5, 7, ».».. Les dix premiers termes donnent, avec dix décimales exactes ,
Si dans la série (3) on fait n = 2, on a
On abrège le calcul en remarquant que diviser par 2 5 revient à diviser par 100 et à multiplier par h. Les sept premiers termes donnent, avec dix décimales exactes,
L3= 1,09861 aaSSj.
On obtient L& en doublant L2, d'où
On calculera ensuite L5 par la série
on obtient les fractions -, -^ , -^ , , en divisant
par 3 les fractions déjà calculées ;r , ^5 j ^, Les cinq
premiers termes donnent, avec dix décimales exactes,
On obtiendra L6 en ajoutant L3 et La. On calculera L7 par la série en faisant n= 6, et ainsi de suite indéfiniment.
Calcul des logarithmes vulgaires.
133. Quand on veut calculer les logarithmes vulgaires, il faut d'abord chercher le module. Pour cela, on calcule le logarithme népérien de 2, au moyen de la série
comme nous l'avons expliqué dans le numéro précédent , ce qui donne
En doublant ce logarithme , on obtienj le logarithme népérien de 4»
GALGDL DES LOGARITHMES. I6t)
On détennine ensuite le logarithme népérien de 5 au moyen de la série
en remarquant que ces nouvelles fractions se déduisent de celles qui ont servi au calcul de Ls, comme nous l'avons expliqué.
Une fois qu'on a trouvé L2 et L5, Taddition de ces deux logarithmes donne
Lio = 3,3o258 SoqSo.
On sait que le module M des logarithmes vulgaires est ^al à ç — (n* 87) ; divisant j par Lio, on aura la valeur de ce module
M = 0^439 44s 19* En le doublant, on a
On obtient les logarithmes vulgaires en multipliant par le module les logarithmes népériens. La série (4) devient ainsi
(4) log(n-l-i) — logn ^ ^^ [ârT+l ^ 3(2n + I )' "^ 5(2n + 1 )* "*" J*
C'est cette série que l'on emploiera pour calculer les logarithmes vulgaires , en séparant les termes et l'écrivant sous la forme
/tx I / I \ 1 2M , 2M , 2M ,
(5) iog(„+.)-iog«=^j^+5^^j^:p^.+^^^^:p^+
170 tlVHE V, CHAP. V.
On obtiendra le logarithme vulgaire de 2, en multipliant
par M le logarithme népérien de 2 qui a servi à trouver le module. On calculera log 3 par la série
log3-log. = -g- + ^ + 5y.+
On calculera d'abord les fractions -?-, ^, -^g- »••••• ^^
divisant successivement par 2 5, plus simplement en multipliant par 4 et divisant par 1 00 ; on divisera ces fractions
respectivement par 1, 3, 5 ; en ajoutant les résultats,
on aura log 3. On aura log 4 en doublant log 2. On obtiendra log 5, et en multipliant par M le logarithme népérien de 5 qui a servi à trouver le module. On trouvera log 6 en ajoutant log 2 et log 3. On calculera log 7 par la série
On aura log 8 en ajoutant log 4 et log « , log 9 en doublant logo; on sait d'ailleurs que log 10 = 1. On calculera log 1 1 par la série, et ainsi de suite indéfiniment.
La sérié (5) convergeant de plus en plus à mesure que l'on s'élève dans l'échelle des nombres entiers , les calculs deviendront bientôt extrêmement rapides. On aura, par exemple, le logarithme de 101 avec huit décimales exactes au moyen de deux termes seulement
2M . aM log 101 — 2 =
On calculera d'abord le premier terme en divisant le nombre connu sM par 201 ; puis on déduira le second
DÉVELOPPEMENT DE UfC tatlQ X. 171
terme du premier en divisant celui-ci par 3.201' ou par i2iso3.
Le premier terme de la série suffira pour le logarithme de 1001,
logiooi —3 = ,
et à plus forte raison au delà.
Développement de la fonction arctangx.
134. Afin de préciser le sens de la fonction arctangx, nous supposerons qu'elle s'évanouit avec x et qu'elle varie ensuite d'une manière continue avec cette variable. La méthode qui nous a donné le développement de L(i + ^) ^ous conduira aussi au développement de la fonction arctangx»
La fonction arc tangx a pour dérivée . , . Par la di-
vision, cette dérivée se développe de la manière suivante,
1=1 — x^ + x^ — a;^+ qpx^^'-^dz-
d'où
Le premier membre admet pour fonction primitive
arctanga? — ( ir + "F — — + ^ )•
^ Vi 3 ' 5 7 ^an — 1/
En désignant cette fonction par ±(q[x)^ on a
172 UVBE V, CHAP. V.
±:ç'(a:)=--j|-^— (i— a:»+a;*— «'+ qra;"^») = ±
i+ar* ^ ' I -r- / j^^t»
OU plus simplement
D'ailleurs , la fonction (f{x) s'annule avec la variable x.
La quantité — r- — 5 étant positive et inférieure àa?% on a les inégalités
La fonction (p(aj), ayant sa dérivée positive, croit avec a;; comme elle s'évanouit pour a? = o, elle prend des valeurs positives croissantes , quand x croit à partir de zéro, la,
fonction (f{x) -7—, ayant sa dérivée négative, décroît au contraire quand x croît ; comme elle s'évanouit aussi avec Xf elle prend des valeurs négatives quand x croit à partir de zéro. On a donc, pour toutes les valeurs positives de ar,
ou
Ainsi la fonction <f{x) a une valeur positive înférieu re -^ — ; — , et l'on pourra écrire
DÉVELOPPEMENT DE UTC (UflQ X. 173
en désignant par une quantité positive plus petite que l'unité. On en déduit
arctaDgx=--- + y- ^ ^;r:rT =^ ^ÏT+T '
Supposons maintenant que la variable x soit inférieure ou au plus égale à Tuuité*; si Ton fait augmenter n indéfi-
niment, le terme complémentaire — ; — tend vers zéro;
on en conclut que la somme des n premiers termes de la série
tend vers la limite arctangx; on obtient ainsi le développement de arc tang x en série convergente
(6) arctang=: - — ^ + ^
pour toutes les valeurs de x inférieures ou égales à l'unité.
Cette série convient aussi aux valeurs négatives de x comprises entre o et — i , puisque les deux membres changent de signe avec x , en conservant la même valeur absolue. Ainsi la série (6) est convergente et représente la fonction arctangx^ quand x varie de — et + i inclusivement.
Calcul du rapport de la circonférence au diamètre.
Iâ5. Nous avons obtenu le développement de la fonction arc tang x en série convergente
174 nVRE V, CHAP. V.
(6) arc tang x=^ iT'^'i —
pour toutes les valeurs de x inférieures ou égales à Tunité. Cette série permet de calculer la longueur d'un arc dont on connaît la tangente ; il en résulte plusieurs manières de déterminer le rapport de la circonférence au diamètre.
l"" L'arci qui a pour tangente l'unité , est la moitié du
qu^raot on 7* £0 faisant ic = 1 dans la sérioi» on a 4odc
Mais cette série ne converge pas assez rapidement et il faudrait un trop grand nombre de termes pour obtenir ir avec quelque approximation. On a recours à d'autres procédés.
2^» En appelant a l'arc qui a pour tangente -, on a la
série
qui converge plus rapidement que la précédente , et qui àonm une portion a du demi-qu^rant j. Pour avoir la
