partie complémentaire, je pose 6 = 7 — a > d'où tang- — tang a i
tang b = = = - .
i + tang j tang a i + -
CiLGUL DE «. 176
Ainsi Tare b a pour tangente = , et se développe de la manière suivante
En ajoutant les deux arcs a et 6, on a
De cette manière , l'arc j est donné par la somme de deux séries.
S"" Partons maintenant de l'arc qui a pour teogieute -s^
et appelons a cet arc,
En doublant cet arc, on a
2tanga 3 tang aa = ^ ; = 7.
L'arc 2a est encore plus petit que j; j'appelle 6 la différence 7 — 2a, d'où
, 1 — tangaa 1 tang = — 7~- — - — = -.
^ 1 + tang aa 7
L'arc 6 qui a pour tangente - est donné par la série
On a donc
&<" On obtient des séries très-rapidement convergentes en partant de Tare a qui a pour tangente •? ,
Si Ton double cet arc, on a
tang aa = = — .
En doublant encore une fois , on a
la lao
tang4a= = — .
'~T44 Cette dernière tangente étant un peu plus grande que Tunité, Tare i^a est un peu plus grand que j; appelons b
la dififérence 4a — 7,
' CALCUL DE jr. j. , ;177
,et calculons lajLaogeule de cet arc, ■ . * . ' ' * 7 X*I
,ii9 1
tangi = ^^^^ — -— .
.1 TTT + >
L'arc très-petit 6 , dont la tangente est -^ , sera donné par la série ^
aSg 5.239' ' 5.239*
et Ton aura
Ces deux séries convergent très-rapidement, surtout la seconde. Aussi cette dernière formule est-elle de beaucoup préférable à celles que nous avons données précédemment.
136, Voici le calcul de n avec 16 décimales exactes, au moyen de la formule (11).
Calcul de 16 a.
—rr — 0,00000 00000 01200 03
-rr r=£ 0,00000 00000 OOOOl 00
0,00000 ooi3i 072
0,00000 oooo5 24288
: 0,00000 OOtDOO ooo55 55
— -— rr 0,00000 00000 3495i 53 '
— TTô =0^00000 00000 00044 i5
DÉTELOPPEMENT DES FOfiiCTiONS EN SÉRIES. 179
Calcul d^ 4b.
— — ssi0,iK^poo o«9a9 eg^QJ 44 g— j-t = 0,00000 ooooo oioa5 89
--— - = o,ppoQo ooooo o5i?9 45 0,01673 64016 74666 06
Calcul de n,
«= 3, 14159 26535 89793 28 Il faut prendre onze termes dans la première série, trois dans la seconde* Lq9 puissances ia)p9,îres de 7 se dédui-
t les imed d^ aptwes ea divisant par ?5, c'est-à-^îre çn multipliant par 4 et divisant par loo* Nous avons fait le calcul avec 17 décimales 1 mais on ne peut pas compter sur la dernière décimale que Ton supprimera; on aura donc u avec seize déeimales exactes
tt=3,i4i59 26555 89793 2.
Développement des fonctions en séries.
137. Nous avons effectué (n* 97) le développement de f{x^-^h) suivant les puissances entières et croissantes de ft, quand la fonction est entière et nous avons trouvé
^0+ A) =/i^o) +rM 7 + n^o) ^ +
m étant le degré de la fonction. Le développeiJient s'arrête à la dérivée d'ordre m ; les dérivées suivantes sont nulles. La même forme de développement s'applique à une fonction continue quelconque ; mais alors la suite se prolonge indéfiniment et constitue une série.
Supposons que la fonction f{x) reste finie et continue, ainsi que ses n+ i premières dérivées, quand x varie de x^hx^ + h. Considérons le polynôme
fM+rMr+rM^+ +rw *"
du degré n par rapport à A, et représentons par
la différence qui existe entre f{x^ + h) et ce polynôme, nous aurons
Si l'on pose J?4 = a?j, + A, d'où x^^x^ = hi et si l'on fait passer tous les termes dans le premier membre, on écrira
(a) fxQ - A^.) - ^^ r w - ^^^F^* n^.) +
