DÉVELOPPEUENT DES FONCTIONS EN SÉRIES

La quantité inconnue R dépend des deux- quantités x^ eix^. ..; . . .

Considérons la fonction

(3) f (X) = f(x,) ^m îLzif) nx) - .^^jp^ nx) - ...

Pour former cette fonction nous avons remplacé a?^, parla variable x dans l'expression (2) , excepté dans la quantité R que nous laissons constante. Pour abréger, nous désignerons cette fonction par <p(a?); si Ton en prend la dérivée, on remarque que les termes se détruisent deux à deux ; les deux derniers termes subsistent seuls, et Ton a

^'(^) = — [^,-xY [x,-xY ^

ou plus simplement

D'après les hypothèses faites, la fonction (f{x) et sa dérivée (f{x) restent finies et continues quand x varie de x^ à a;,. Pour x=x^^ la fonction (f[x) se réduit à l'expression (2), qui est égale à zéro; pour a? == a?,, les deux premiers termes se détruisent, les suivants deviennent nuls, et la fonction est aussi égale à zéro. Ainsi, quand x varie de x^i^x^, la fonction <p(a?) part de zéro pour revenir à zéro; comme elle reste finie et continue, elle passe par un maximum en valeur absolue; la dérivée ç'(a?) change donc de signe, et comme elle reste elle-même finie et continue, elle change de signe en passant par zéi*o. On en conclut que la dérivée

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s'annule pourtine valeur de x comprise entre «j^ et a?j, c'est* à-dire entre x^ et 0?^, + ft ; cette valeur de x, qui annule la dérivée, peut être représentée par aÎQ+Oft, 8 étant une fraction plus petite que Tunité, et Ton a (f^{x^ + ^h)=(x. On en déduit, en vertu de Téquation (4),

L'égalité (i) devient ainsi (5) f(x, + h)^f{x,)+f\x,)-^+rM^ +

Lorsque le ternie complémentaire tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, la formule donne naissance à une série convergente ; c'est la série de Taylor.

138, On peut obtenir le terme compléitientaire sous une forme plus générale. Si Ton représente le terme complémentaire par

p étant un nombre entier qùekmiqiie^ od a^ comme précédemment^

-<-^^^^r(xo) — ^"'"^Y" R=o.

La fonction