DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES

s'annule epçûife pour x =^ x^^i x= x^'^so. dérivée

s'annuje par conséquent pour une Y^Ieyr intermédiaire x^ + ^h; on en déduit

• aî=;A«-p(i~e)«-p/''^*(a:^ + W),

et par suite le terme complémentaire

(i e)-p/^*(a:o + aA).

Le nombre entier p est arbitraire. Si l'on fait p = n, on retrouve la première forme ; si Ton fait p = o, on obtient une seconde forme

Ln+l

qui est souvent utile dans les applications *.

139. De la formule (5) , dans laquelle on remplace x^ par o et à par x^ on déduit

(6) f{x)=no) + fio) \ + r\o) f^ +

rpH ftî^^^

+ /^(o) 1 + —-^ /^»(eaj).

On peut aussi mettre le terme complémentaire sous la forme

(i — e)Y'»^»(ear),

* L'ingénieuse démonstration que nous ayons donnée de la série de Taylor est due à M. Todhunter. M. Rouché Ta perfectionnée de QUinière à obtenir à la fois les deux formes du reste.

184 ' LIVRB V» CHAP. V.

Lorsque le terme complémentaire tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, la fonction est développée en série convergente, suivant les puissances entières et croissantes de a?.

Appliquons cette formule au développement de la fonction e. Toutes les dérivées de cette fonction sont égales à la fonction elle-même e"" et se réduisent par conséquent à Tunité pour â? = o; on a donc

+ Î^V^Xe»^.

La série étant convergente, quelle que soit la valeur attribuée à ar, comme nous l'avons remarqué au n* 6i , la frac-

tion — ; — - — ; — - tend vers zéro , quand n augmente 1,2. .. (n-f i) ^ °

indéfiniment; d'ailleurs c®^ conserve une valeur finie ^ le terme complémentaire tend donc vers zéro, et Ton a le développement de 6* en série convergente pour toutes les valeurs de X positives ou négatives, \» ' , * - ' X . x^ * a;* (7) e-=i + - + — + — v + . .

On obtient de la même manière le développement des fonctions %\nx et to%x en séries convergentes pour toutes les valeurs de x

sma:=: -^ ^-rr ~