CHAPITRE PREMIER
Définition.
140. Nous avons expliqué, dans la première partie de Y Algèbre (liy. III, chap. ii), comment la résolution de l'équation du second degré conduit à des expressions de la forme a + b sj — i» auxquelles on a donné le nom de quantités imaginaires. Si Ton représente par la lettre i le symbole v/— i; les quantités imaginaires s'écriront sous la ibrme a + 6i> les lettres a et 6 désignant des quantités réelles positives ou négatives.
Soit r un nombre positif, a un angle, on peut toujours poser
a=:rcosa, 6 = rsina.
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Ed ajoutant les carrés, on en déduit
(1) et par suite
COSa;^-^, smac=-.
De cette manière, la quantité imaginaire a+6i se met sous la forme
r(cosa4-tsina).
Le nombre positif r s'appelle le module, l'angle a l'argfument de la quantité imaginaire. Le module r donné par l'équation (1) a une valeur parfaitement déterminée. Mais l'argument a peut recevoir une infinité de valeurs. L'angle a étant donné par son sinus et son cosinus, d'après les équations (2), a une valeur et une seule de o à stc; on peut ensuite augmenter ou diminuer cet angle d'un multiple quelconque de 2TC-, de sorte que si l'on représente par a^ la première valeur de a, et par h un nombre entier quelconque, positif ou négatif, toutes les valeurs de a seront comprises dans la formule a =a^ + 2fc^.
lÂl. Dans un plan, marquons un point fixe et traçons une droite fixe OX passant par ce point. On peut figurer la quantité imaginaire par une longueur OA égale à son module r portée dans une direction qui fasse avec la droite fixe OX un angle égal à son argument a. On compteTangle a à partir de OX en tournant dans un sens convenu, par ex^npie, de OX vers OY.
Cette représentation des quantités imaginaires a une grande importatice en mathématique. Elle permet de suivre la variation de ces grandeurs et constitue un instrument puissant pour l'étude des propriétés des fonctions.
Si Ton fait varierTangleadeo à 27c, la droite OA tourne autour du point 0, à partir de la portion OX, et décrit tout le plan»
Les quantités réelles sont des cas particuliers des quantités imaginaires. Quand a=o» la quantité imaginaire f(oo8 a + 1 fiina) devient une quantité réelle positive r; elle est figurée par une longueur égale à r portée sur Taxe OX dans le sens OX, Quand a =7:, la quantité imaginaire devient une quantité réelle négative — r ; elle est figurée par une longueur égale à son module r portée sur Taxe fixe, dans le sens inverse OX'.
Quâtid di= -, la quantité imaginaire, qui se réduit à n,
est figuréa par une longueur égale à r, portée sur la per-
pcndiculaire OY àl'ate OX. Qnand at= — , la quantité
imaginaire, qui se réduit à — ri, est figurée par une longueur égale à r portée sur la perpendiculaire, mais dans le sens inverse OY'.
En général, quand on ajoute it à l'argument, cosa et sina changeant de signe , la quantité imaginaire r(cosa + f sin a) change de signe. Ainsi deux quantités imaginaires égales et de signes contraires sont figurées par deux longueurs égales OA et OA' portées en sens inverse Tune de l'autre. •
Du point A abaissons une perpendiculaire AP sur l'axe X'X, on a
û =3: r cos « =0P, b = rsin «=: PA.
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On voit par là que la partie réelle a de la quantité maginaire OA est égale à sa projection OP sur Taxe fixe OX et le coefficient 6 de f à sa projection PA sur l'axe perpendiculaire OY. Écrire la quantité imaginaire sous la forme a+ U revient à remplacer la ligne droite OA par la ligne brisée OPA.
142. On estime la grandeur d'une quantité imaginaire par la longueur de la droite OA qui la représente, c'est-à-dire parle modul/de la quantité imaginaire, Lorsque le module est petit, on dit que la quantité imaginaire est petite. Lorsque le module devient nul , on dit que la quantité imaginaire ellemême devient nulle. Puisque le module r est égal à ^a* + ft*, pour que le module soit nul, il est nécessaire et il suffit que les deux quantités réelles a et 6 soient nulles séparément.
Deux quantités imaginaires égales sont dites égales, lorsqu'elles sont représentées par la môme droite OA dans la même direction, c'est-à-dire lorsque leurs modules sont égaux et que leurs arguments sont égaux ou diffèrent d'un nombre entier de circonférences. Il est clair que si deux quantités imaginaires a + 6t, ci + bH sont égales, on a séparément a=ia\hz=z b\
Addition.
143.' On a étendu aux quantités imaginaires les règles ordinaires du calcul algébrique, comme si la lettre % désignait une quantité réelle, en convenant de remplacer en* suite dans le résultat i* par — i.
Proposons-nous d'^ord d'additionner deux quantités imaginaires a+ 6i, a! + ft't. On a, en groupant les parties réelles et les parties imaginaires,
(a .f-W) + (a'+éï) = (a + a') -!-(* + *>•
Si Ton figure les deux quantités imaginaires proposées par des grandeurs géométriques OA, OA', comme nous l'avons expliqué, il est facile de voir que l'addition consiste à porter ces T deux longueurs l'une à la suite de l'autre, chacune dans sa direction. A partir du point A, extrémité de la grandeur OA, menons une droite AB égale et parallèle à OA', et joignons OB ; la droite OB représentera la somme des deux quantités imaginaires. Car la projection de la ligne droite OB sur chacun des axes OX et OY étant égale à la somme des projections des deux parties de la ligne brisée OAB, les deux projections de la ligne OB sont égales à a + a' et à b + b\ Cette droite figure donc la quantité imaginaire
Nous remarquons que dans le triangle OAB la longueur du côté OB est plus petite que la somme des deux autres côtés OA et AB, et plus grande que leur différence. Il en résulte que le module de la somme de deux quantités imaginaires est plus petit que la somme des modules de ces deux quantités et plus grand que leur différence.
Ce que nous venons de- dire s'étend à l'addition d'un nombre quelconque de quantités imaginaires. Soit à additionner trois quantités imaginaires figurées par les grandeurs géométriques OA, OA, OA"; à partir du point A menons une droite AB égale et parallèle à OA', et, à partir du pomt B, une droite BC égale et parallèle à OA"; la
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droite OB étant la somme des deux premières quantités, la droite OC sera la somme déè deux quantités OB et OA", et par conséquent la somme dés trois quantités proposées. La droite OC étant moindre que la ligne brisée OABC, il est évident que le module de la somme de plusieurs quantités imaginaires est plus petit que la somme des mqdules de ces quantités.
Souêtraçtionf
144. La soustmctioii n'offra aucune difiipultéf D'u»e q^a^tité im^aginaire a -fit ratrmçhur une quaPlité m^naire a' + b'i, c'est trouver u^e troisième qualité iw^uaire qui, ajoutée à la seconde, reproduise la pr^^QdièW' La différence aHerché^ ^^t
Soient OA et OA' les deux grandeurs géométriques qui figurent les quantités géométriques proposées. A la droite OA ajoutons une droite AB égale et parallèle à OA, mais de sens contraire*, la «droite OB
figurera la différence cherchée ^ car si à cette quantité OB
on ajoute OA ou BA, on reproduit OA.
Multiplication.
146. En effectuant le produit de deux quantités imaginaires a + bU a^ + b'ij d'après la règle ordinaire delà multiplication des polynômes, on a
(a + bi) (a' + b'i) = aa' + Wï* + {ab' + àa')i;
si l'on remplace ensuite i* par — i, il vient
Lp produit est une quaotité imaginaire de la même forme que les qdiuilités proposées. Si Ton a à effectuer le produit d'un nombne quiconque de facteurs imaginaires, on calculera le produit des deux premiers facteurs, comme nous fanons de l'indiquer ', on multipliera ce produit par le troisième facteur, et ainsi de suites le produit final sera de la oièiie forme.
Supposons les deux facteurs mis sous U forme
r(cos Gt + ** sin a), r'(cos a! + i sin a');
le produit sera
n^{(cos(xcosa'-^ siaKSina')-{-t(sin«oôs«'-hcos»sin«')î,
ou plus simplement
rr'[C0S (a -|- a') -)- i sîn (a + a')] .
On voit que le produit de deux quantités imaginaires est une quantité imaginaire qui a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments.
La même règle s'étend à un nombre quelconque de facteurs, et il est clair que le produit ne change pas quand on change Tordre des facteurs.
Il est facile de donner à cette opération un sens géométrique. Pour multiplier la grandeur géométrique OA par la grandeur géométrique OA', il faut d'abord multiplier la longueur OA par le nombre __ abstrait qui mesure la longueur OA', puis faire tourner la droite OC ainsi obtenue d'un angle COB égal h l'angle XOA'. On voit en
effet que la grandeur géométrique OB a son module égal
au produit des modules et son argument égal à la somme
des arguments/ • * ^ * -* .
^ Si Ton applique cette règle au produit ixi, on remarque
^ ' A que la quantité imaginaire i est
figurée par une longueur OA ___2l__ égale à l'unité portée sur la
*' ^ ^ ^ perpendiculaire à Taxe fixeX'X;
il faut multiplier cette longueur par l'unité, puis la faire tourner d'un angle droit autour du point O, ce qui donne une longueur OB portée sur OX'; ce résultat est égal à — i. Ceci est bien d'accord avec la convention fondamentale <» = — 1.
Deux quantités imaginaires a+&^ ^ — ^h <iP^ ^^ àUSèrent que par le signe de t, sont dites conjuguiez. On a
Le produit de ces quantités est réel.
Il est évident que le produit de plusieurs facteurs réels et positifs ne peut devenir nul que si l'un des facteurs au moins devient nul. La même propriété a lieu quand les facteurs sont imaginaires; car le module du produit étant égal au produit des modules des facteurs, pour que ce module devienne nul, il est nécessaire et il suffit que le module de l'un des facteurs devienne nul.
Dwision.
146. Diviser une quantité imaginaire a-^-bi par une quantité imaginaire a^ + h'i^ c'est chercher une quantité imaginaire x+yi qui, multipliée par le diviseur, repro-
GAtCUL DES QUANTITÉS IMA6INAIBES. 193
duise le dividende. Ou doit donc avoir
a + W=(a'+6'i)(a! + yt), ou, en effectuant le produit,
a 4- W = [clx - b'y) + (i'ar + cfy)i,
et par suite, en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,
On déduit de là
ac^ + bb- ba'-^ab'
On a ainsi
o + ii <ia' + t6' ba' — aK .
ihl. On ne change pas la valeur d'une fraction ^ formée
de quantités imaginaires A et B, quand on multiplie ses deux termes par une même quantité imaginaire G ; car en désignant par Q le quotient que nous venons de trouver, on a
A = BxQ;
si l'on multiplie par G ces deux quantités égales, il vient
AC«BXQXC=BCXQ, d'où
