BC"""~B
Il en résulte une manière commode d'eflfectuer le calcul
19& LIVRE YI, GHAP. I.
du quotient de deux quantités imaginaires; car si Ton multiplie les àeijix termes de la fraction
a + bi
par la quantité a! — Vi conjuguée du dénominateur, on a
a + bi {a^bi){a'—b't) a! + b'i "" a'« + 6'« ' '
le dénominateur devient réel et la question est ramenée à une multiplication; on retrouve ainsi le résultat obtenu précédemment
a + bi (aa'+bb') + {ba!^ab')i a' + b'i"^ a'« + 6'«
Quand on met les deux quantités imaginaires sous la forme r (cos <x. + i sin a) , f '(cos a' + » sin a'), on peut écrire immédiatement le quotient de ces deux quantités
-7 [cos (a — a') + i sin (a — ûc')];
ear, en multipliant ce quotient par le diviseur, on retrouve le «dividende. Ainsi, le quotient a pour module le quotient des modules et pour argimient la différence des argumeniê.
Puissances.
1 AS. Commençons par former les puissances succesâves de t. On a d'abord i* = — i. La troisième puissance •• étant égale à la deuxième i* multipliée par i, il vient
La quatrième étant égale à la troisième multipliée par i,
on a de même et ainsi de tuite
t»=:i*Xî=t,
On obtient de la sorte la série des puissances
La quatrième puissanoe î^ étant égale à i^, il est clair que le3 mêmes résultats se reproduisent périodiquement de quatre en quatre, et Ton a en général
Les puissances paires sont réelles, les puissances impaires imaginaires.
Ces résultats sont évidents géométriquement. Les Ion- T gueurs OA et OB, égales à l'unité,
B portées sur OX et OY, représen-
tent la première + 1 , la seconde t.
Multiplier une grandeur géonié- A î trique par f, c'est la faire tourner d'un angle droit autour d'un peint O. En multipliant ainsi plusieurs fois successivement la grandeurs OA par t, on obtient les quatre grandeurs OB, OC, OD, OA, ou t, — 1 , — t, + ï > qui se reproduisent périodiquement,
li9. Si, d'après la convention générale sur le calcul des
196 Ll^RE VI, GHAP. I.
quantités imaginaires, on applique la formule du binôme (n** Si) au développement de (a + fti)**, on a
En remplaçant les puissances successives de î par les valeurs trouvées précédemment, il vient
la + bi)^ = a-» + ~ a^'bi^ m{m^i) ^„.,^, ^ ' 1 i.a
les termes sont alternativement réels et imaginaires. Réunissons enfin les termes réels et les termes imaginaires, nous aurons
^ ^ ' L la 1 2.34 J
Dans chaque parenthèse les termes sont alternativement positifs et négatifs. Si Ton désigne par A et B les valeurs de ces deux parenthèses, on voit que le développement de- (a + ^'^ ^^ une quantité imaginaire de la forme ordinaire A + Bt.
Il est clair que le développement de (a — 6t)** ne diffère de celui de {a+bi)"^ qu'en ce que le signe de iest changé. Nous avons trouvé
on aura donc
(û— 6i)~ = A — Bî.
CALCUL DES QUANTITÉS IMAGiNAlBES. 197
Applications.
V (i+»7=*+5t—io— ioi+5 + t = — 4— 4t.
r (i-iy=~4+4»*.
3** (3+at')«==3« + 6.5».at — i5.3\2* — ao.3».an-f i5.3V
Lorsque la quantité a + M est mise sous la forme r(cosa4-tsiûa), on peut écrire immédiatement
(a 4" ài)*^ = r"*(cosma -j- 1 sin wia);
car la puissance m* d'une quantité est le produit de mfac* leurs égaux à cette quantité, et Ton sait que le module du produit est le produit des modules des facteurs et son ar* gument la somme des arguments.
Supposons que dans un polynôme entier
à coefficients réels ou imaginaires, on donne à la variable x une valeur imaginaire a + bi. Une puissance (a + 6f)*, comme nous l'avons expliqué, prenant une valeur de la forme A + Bt, un terme quelconque du polynôme, qui est le produit d'une puissance de x par un coefficient réel ou imaginaire, prend une valeur de la même forme. £n réunissant les parties réelles fournies par les différents termes du polynôme, ainsi que les parties imaginaires, on obtiendra finalement un résultat de la forme A+ Bê.
Rmnes.
150. Proposons-nous d'abord d'extraire la racine carrée de la quantité a + bi; il s'agit de trouver une quantité de la
forme x + yi qui, élevée au carré, reproduise la quantité proposée. On doit donc avoir
ou, en développant le carré,
(ar* — y') + aa?yt = a + 6t j
^ par suite
a?* — y*=sa, 2xy=sib.
On remplacera le système de ces deux équations par le système équivalent
Les inconnues â? ety devant avoir des valeurs réelles, on en déduit
x=±yj'
On a ainsi
/ /. /s/a^ + b' + a ^ /v^a* + ft*-«\
On a, par exemple,
/l'rid:
