Proposons -nous maintenant d'extraire la. rs^e m

de a +6t, c*est-à-dire de trouver une quantité imaginaire de la même former qui, élevée à la puissatice m, reproduise la quantité proposée. Posons

a + bi=z R(co8a -|~ • sin a),

et représentons Tinconnue par r(cosu)-|-tsin<o), on doit avoir

r**(cos mw 4- îsin mw) = R(cos a + mn a).

Pour que ces deux quantités imaginaires soient égales, il est nécessaire que leurs modules soient égaux et que leurs arguments sôieiit égaux ou diffèrent d'un multiple quelconque de 217. On aura donc

*»•*»== R, t7ftû = a-|- 2Ait, d'où

et les diverses valeurs de Tinoonnue sont données par la formule

R^fcos \ +tsm--!^),

dans laquelle la lettre k désigne un nombre entier quel-* conque, positif ou négatif.

162. Il est aisé de voir, d'après cette formule , que Fin-connue admet m radnes distinctes. En effets si Ton donne à fc les m valeurs consécutives

on obtient m valeurs qui ont même module R"* et pour argument les arcs

a a ait a aw a ' ait " . / \ ^'^

mmmm mm m m m

Gomme ces arguments sont plus petits que sic et qu'ils diffèrent entre eux, les m quantités qui leur correspondent sont distinctes. Si Ton donnait à k les valeurs m, m + 1 ,

m -f 2 , en négligeant un multiple de aie, on retrouverait

les arguments déjà obtenus et les mêmes racines se reproduiraient dans le même ordre. Si Ton donnait à h les valeurs

négatives — i, — a, —3 , on retrouverait encore les

mêmes racines, mais dans un ordre inverse. Ainsi, la ra« cine m' d'une quantité donnée admet m valeurs distinctes et n'en admet que m.

Du point comme centre avec un rayon égal à R*, dé- . crivons un cercle; prenons l'angle XOAç égal à — et, à partir

du point A^, divisons la circon* férence en m parties égales ; les m valeurs de la racine seront

figurées par les rayons OA^, OA^, OA, , qui vont du

centre aux différents points ou divisions de la circonférence. Ces m quantités forment une étoile régulière à m rayons.

L'extraction de la racine revient à la résolution de l'équation binôme 5?""= A. Nous étudierons avec plus de détails en trigonométrie les propriétés des racines de cette équa* tion.