PAOPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
Êltide des fonctions entières»
153. Lemme I. Quand un polynôme entier en x ne contient pas de terme constant^ on peul donner à x une valeur assez petite pour le polynôme ait une valeur plm petite que toute quantité donnée.
Soit
ax+bx*'{'Cx^ + . . . .-f *^"*
un polynôme entier en a? , à coefficients réels , ne renfermant pas de terme constant , et ordonné suivant les puissances croissantes de x. Je dis qu'on peut donner à x une valeur réelle assez petite, abstraction faite du signe, pour que la valeur absolue y du polynôme soit plus petite qu'une quantité donnée a, si petite qu'elle soit. En effet, si Ton désigne par M le plus grand coefficient en valeur absolue du polynôme, on a évidemment
puisqu'on remplace tous les coefficients par le plus grand d'entre eux et qu'on a pris tous les termes positivement ; on peut aussi prolonger la série à l'infmi, en supposant x inférieure à l'unité, afin de rendre la série convergente. Faisons la somme des termes, il vient
^ Mx
£02 LITR£ \I, GHAP. li<
La question sera satisfaite si l'on rend le second membre plus petit que a ; posons donc
d'où
Ainsi, pour toutes les valeurs de x comprises entre — ^^
et + jjTT^ ♦ '® polynôme aura une valeur comprise entre
— - a et + ^* Par exemple, la valeur du polynôme
sera comprise entre — o,i et + o,i quand la vaiiable i»
3era comprise entre r-et H , ou plus simplement
entre — 0,01 et -f o,oi.
Ibà. Leuue il Otiand un polynôme entier à coefflcienU réels est ordonné par rapport au>x puièsances croissantes dex^ on peut donner à la variable une valeur réelle assez pelile pour que le premier terme soit plus grand que la somme de tous les autres^ et par conséquei^ donne son signe au polynôme»
Soit
y^aar + b3r^^ + eixr**+
le polynôme proposé; je le mets sous la forme
Nous venons de démontrer que Ton peut donner à x une valeur assez petite numériquement pour que la valeur absolue du polynôme
éar + ^^' +
soit inférieure à celle de a. Pour ces valeurs de a? , le premier terme du polynôme proposé sera plus grand que la somme de tous les autres et donnera son signe au poly- Bdme.
Par exemple, le premier terme du polynôme
sera plus grand que la somme de tous les autres pour les valeurs de x comprises entre et H .
155. LSMME III. Qmnd un polynôme entier à coefficients rielê Ht ordonné par rapport aux puissances dieroissantes de X, on peut donner à x une valeur réelle assez grande pour que le premier terme soit plus grand que la somme de tous les autres i et, par conséqusni^ donne son signe au polynôme.
Soit le polynôme
y = ax'^ -j- *^"*"* + car'*'* -|-
Mettant x"*" en facteur, je Técris sous la forme
Le polynôme entre parenthèse est ordonné par rapport aux puissantes croissantes de la variable - ; en vertu du lemme
précédent, on peut prendre- assez petit, c'est-à-dire x
assez grand en valeur absolue, pour que le premier terme soit plus grand que la somme de tous les autres, et, par conséquent , donne son signe au polynôme.
Par exemple, le premier terme du polynôme
2X^ ^ Sx'' — aa?* -f ^' — 5a:r + 7 surpassera la somme de tous les autres pour toutes les va-
leurs de - plus petites que ^ ■■ == - , et par conséquent
pour toutes les valeurs de x plus grandes que 5, en valeur absolue.
156. Thorème I. Une fonction entière varie d'une maniére continue.
Désignons par /"(a?) un polynôme entier à coefficients réels et supposons que Ton n'attribue à la variable x que des valeurs réelles. Si Ton donne à la variable x un accroissement A, la fonction éprouve Taccroissement (n*97).
f[x+h)^f{x)==f\x)k+Ç^h^ + ÇQh^+ '
Le second membre étant un polynôme entier en h qui ne renferme pas de terme constant, on peut donner à h une valeur numérique assez petite pour que ce polynôme ait une valeur absolue plus petite que toute quantité donnée. Ainsi , à un accroissement infiniment petit de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction, et, par conséquent, lorsque la variable x varie d une manière continue, la fonction varie aussi d'une manière continue.
