Théobème II. Lorsque deux nombres réels substi
206 LIVRE VI, CiHAP. II.
tués dans un polynôme entier à coefficients réels donnent des résultats de signes contraires , le polynôme a au moins une racine réelle comprise entre ces deux nombres.
Ceci résulte de la continuité de la fonction. Soit Xq plus petit que a?j, et supposons, par exemple, que le polynôme f{x) ait une valeur négative pour x=zx^y une valeur positive X = x^. Si Ton imagine que x croisse d'une manière continue de 0?^ à â?^, la fonction variera d'une «lanière continue, allant d'une valeur négative à une valeur positive; eomme elle reste finie, elle devra oécessairemest âansl'ui^ taFvalle passer par ia valeur intermédiaire ^éro. Aind, la fonction /'(a;) s' annule pour une vaieor deœoofmprifieâr^el «^; cette valeur de m çat raeioe de Féquatiaii f {x) es 04
Il est possible que la fencticm passe plusieurs fais p«r sèro dans Tin^ervalle de m^ k x^i dans ce cas, l'équi^dee admet plusieurs raeinea réelles entre x^ et x^.
Toute fonction finie et eontinue jouit ëvidemmeqt de b mèoae propriété.
l&O. Théorème IIL Vm équation algébrique 4ê dsgfi impair à coefficients réels a au moins une racine ré^lUi*
On appelle équation algébrique l'équation que Toq f^btiept eu égalant k zéro une fonction eotiâpe f{x). On peut to^}ours supposer le premier coeificieBt positif; s'il était uégatif , 9Xk changerait tous les signes. Si l'ou donne à x une valeur négative très^-gr^uide en valeur absolue, le polypômB prend une valeur de mêuie signe que celle de son premier terme, c'est-à-dire une valeur négative, puisque ce dernier terme Qst de degré impç^r. Au contraire, si Y on donne à x une valeur positive très-grande, le polyu6a^ prend une valeur positive. Ainsi , quand x varie de — <» à + 00 , le polynôme f(x) change de signe et s*annule au
THÉOBIB DES ÉQUATIONS. 207
moins une fois; donc Téquation f{x) = o a au moins une racine réelle.
Cette racine réelle a un signe contraire à celui du dernier tenne de Péquatioa. Supposons d'abord que le dernier terme, c'est-à-dire le terme indépendant de x^ soit négatif; pour xsso^le polynAme, se réduisant à son dernier terme» a une valeur négative ; pour une valeur très-grande positive, il a une valeur positive; donc le polynôme change d€i signe quand x varie de o à -f- ex» et , par conséqu^t , Téquatien admet uue racine positive. Supposons maintenant que le dernier terme soit positif; pour a? ?= — q», Je polynômeest négatif, pour ^ = o, il gst positif; il change donc de signe quand x varie de — qo à o et, par conséquent, Téquation admet une racine négative.
On peut affirmer, ^^ exeiuplQ, gue Téquation
a au moins une racine réelle positive, et que l'équation
a au moins une racine réelle négative.
160. Théorème IV, Une équation algébrique de degré patr, à coefficients réeh^ dont le dernier terme est négatifs a au moins deux racines réelles.
Pour a; == o, le polynôme , se réduisant à son dernier tenpe, a une valeur négative. D'ailleurs , une valeur de x très-grande, soit positive, soit négative, rend le polynôme positif, puisque sou premier terme, qui est de degré pair, re^tp. toujours positif. Ainsi le polynôme change deux fois de signe , une fois de o à + ^ ? une seconde fois de o à — c^; donc, l'équation admet au moins deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative.
208 LIVRE YI, GHAP. II.
Par eiemplct Téquation
admet au moins deux racines réelles, Tune positive, l'autre négative.
Il est un cas où Ton ne sait pas si Téquation admet des racines réelles : c'est celui où l'équation, étant de degré pair, a son dernier terme positif; car, dans ce cas , le polynôme a des valeurs positives pour j? = o et pour des var leurs de x très-grandes, positives ou négatives. Ainsi, on ne sait pas si l'équation
5?* — 5a?' — 70?* + 3a? -f" ^ = admet des racines réelles.
161. Théorème V. Si a est racine Xune équation algibrique^ le premier membre est divisible par x — a.
Soit f{x) un polynôme entier du degré m, à coefficients quelconques, réels ou imaginaires, et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x; on peut diviser ce polynôme par X — a et pousser l'opération jusqu'à ce qu'on arrive à un reste indépendant de x. Si l'on appelle <p(a?) le quotient qui est un polynôme entier du m — i* degré, et R le reste constant, on aura
f(x) = {x-a)ff(x) + R.
Cette égalité est vraie, quelle que soit la valeur de x. Donnons kxU valeur particulière a, le premier terme du second membre s'évanouit, puisque le facteur x — a devient nul et que l'autre facteur <p(a) conserve une valeur finie; il vient donc
Ainsi, qtMnd on divise unpolynùme entier par un binôme de la forme x — a, /« reste de la division est le résultat que Von obtient en remplaçant x par a dans ce polynôme.
Supposons maintenant que a soit racine du polynôme f{x); cela signifie que, si Ton remplace x par a dans le polynôme, on obtient un résultat f{a) égal à zéro. Donc le reste R est nul, et Ton a
Ainsi, lorsque a est racine d'un polynôme entier^ ce polynôme est divisible par x — a.
Réciproquement , si un polynôme est divisible par un binôme de la forme x — a , la quantité a est racine du polynôme. En effet, dire que le polynôme f{x) est divisible par X — a, c'est dire que le reste constant R auquel on arrive en effectuant la division est nul ; donc la quantité f{a) est égale à zéro et a est racine.
162. Nous indiquerons maintenant une règle très-simple pour calculer le quotient.
Soit
le polynôme proposé.
Divisons ce polynôme par x — a.
A««*+ Aiar«-*+A,a?«-*+ AjiT*-'. . .+A«-ia?+ A«»
(A,a+Ai>i^*+A^-»+A8a^-« +A«
(Bia+AJar-^'+Aga:^-» +A«
(Bîa+A,)a;«-8 ^^m
Aoar«-*+B,a?*--«+B,af-*...+B„
(Bm-sa+A«-.i)aî+Aw Reste Bm-ia+A»
iU
210 UVHE VI, GHAP. II.
Le premier ternae du quotient est A^o?*^* ; multiplioBS ce terme par le diviseur x — a, et retranchons du dividende; le produit par x détruit le premier terme du dividende» le produit par — a donne la quantité A^aaf^* qui s'ajoute au second terme ; ainsi le premier reste ou second dividende a pour premier terme {k^a + Aj)«**"S les termes suivants étant les mêmes que dans le dividende proposé. Si Ton divise ce premier terme par x , on aura le second terme BiO?**"* du quotient, en représentant pour abréger A««+ Aj par B^; multiplions ce second terme par x — a, le produit par x détruit le premier terme du second dividende, te produit par — a donne la quantité B^aa?*"' qui s'ajoute au second terme ; ainsi le troisième dividende a pour premier terme (B^a + A,)aî'^% les termes suivants restant les mèmep que dans le dividende proposé. Si Ton divise ce premier terme par a?, on aura le troisième terme B,aî"*""* du quotient, en représentant B ^0+ A, par B, , et ainsi de suite.
Cette loi est générale : on obtient un coefficimt quelconque du quotient en multipliant le coefficient précédent par a et ajoutant le coefficient du terme qui dans le polynôme proposé occupe le même rang que le terme cherché du quotient
On arrivera ainsi au dernier dividende
(B«.sa + A-«»i)^ + A.,
qui donnera le dernier terme B^,.^ du quotient, B^.^ représentant la quantité B^,a + A^.^ ; en multipliant ce dernier terme par a: — a et retranchant du dernier dividende, on aura le reste de la division B^^^a + A^. On voit pai là que le reste de la division se forme au moyen du dernier terme du quotient suivant la même loi, en multipliant le dernier terme du quotient par a et ajoutant le dernier terme du dividende.
Les cœfllcients du quotient, formés d'après cette loi, ont pour valeurs
B^, = Aoa-»4- A,a«-* + + A«,.j,
et le reste de la division
R = B«.,a + A«=Aoa« + A,a*-*+ +A^.
Exemples.
!• Diviser par a? — - 3 le polynôme
L'application de la règle précédente donne le quotient 20?* — 2a?**f-a:* — 3or— ►4*
Après avoir écrit le premier coefBcient 2 , on dira : 2 multiplié par S 6 et — 8 — 2 ; — 2 multiplié par
3 — 6et + 7 + * ; + 1 multiplié par 3....é +3
et — 6.,...— 5; — 3 multiplié par 5 —9 et + 5...». — 4*
Si Ton multiplie le dernier terme du quotient par 5 et que Ton ajoute le dernier terme 12 du dividende, on trouve le reste'o ; donc 5 est racine du polynôme.
2« Diviser par ^ + 2 le polynôme
En opérant de la même manière, on trouve le quotient ao?^— 5or* — 4d? + ^*
Ici a = — S , on dira donc : a multiplié par -^ «... .. — 4
et+ 1 — 3; — 5 multiplié par — 2 + 6 et — 10
— 4; — 4 ïûultiplié par — 2.,... + Set — 2 + 6. En
multipliant le dernier terme du quotient par — 9 et ajoutant + 5, on obtient le reste — 7 de la division^ Donc — « n'est pas racine.
3* Diviser par a?— 2 le polynôme
x^ — i3ar* + 7^* + i3x' + 25? — 8.
Le polynôme n'est pas complet; il ne contient pas de termes en a?% en x^ et en a?' ; on imaginera le polynôme complété au moyen de coefficients nuls et écrit sous la forme
x^ 4" ^^^ + ^^^ — i^*^* + 7^* + oar' + i5ar* -f- 2;r — 8 ;
puis on appliquera la règle ordinaire. Le quotient est
et le reste nul. Donc 2 est racine.
163. Théorèue VL Tout polynùme entier du degré m peut être décomposé en un produit de m facteurs du premier degré.
On démontre qu'un polynôme entier du degré m a m racines; nous admettrons pour le moment ce théorème fondamental, renvoyant la démonstration à la fm du volume*
Désignons par f{x) un polynôme entier du degré m, et appelons a une racine réelle ou imaginaire ; le polynôme f{x) est divisible par x- a; en appelant X^ le quotient, qui est un polynôme entier du degré m— i , on a
Appelons de même b une racine du polynôme X^ ; ce poly-
ndme sera divisible par x — 6, et Ton aura
X, = (ar-6)X,,
le quotient X, étant un polynôme entier du degré m — «. Appelons c une racine du polynôme X, ; ce polynôme sera divisible par x — c, et Ton aura
le quotient Xj étant un polynôme du degré w— 3. En continuant de la même manière, on arrivera à un polynôme Xi^^i du premier degré, qui admet une racine ft, et s'écrit
le dernier quotient A étant indépendant de x. Si Ton multiplie entre elles toutes ces égalités, les polynômes inter** médiaires disparaissent, et l'on a
f[x) = k[x-^a){x — b)[x — c) (ar — A).
Ainsi tout polynôme entier du degré m peut être décomposé en un produit de m facteurs du premier degré.
Le facteur constant A est égal au premier coeflQcient du polynôme, parce que si Ton fait la multiplication, le premier terme du produit est kx^.
16i. Théorème YII. Un polynôme entier ne peut être décomposé quen un seul système de facteurs du premier degré.
En effet, supposons qu'un autre mode de décomposition ait donné
f{x) = A'{x — (^)[x - b'){x—c') (or— k).
Nous remarquons d'abord que les deux coefficients A et A' sont égaux, comme étant tous deux égaux au premier coefficient du polynôme. Les deux produits sont égaux pour
214 I.I\RB YI, CHAP. II.
toutes les valeurs de x ; donnons à âs la valeur particulière a; le premier produit contenant le facteur x — a, s'annule; le second, qui est égal au premier, doit s'annuler aussi -, pour cela il est nécessaire que l'un des facteurs s'annule, c'est-à-dire que la quantité a soit égale à l'une des quan^
tités a', y , ; supposons tt=ra'; il en résulte que les
deux produits contiennent tous deux le même facteur x—a. Si l'on divise ces deux produits égaux par x — a, on aura deux quotients
égaux pour toutes les valeurs de x. En donnant à a; la valeur particulière 6, on démontrera de même que le facteur âî~ 6 du premier membre se trouve dans le second. On divisera parce facteur commun et l'on continuera delà même manière jusqu'au dernier facteur. Ainsi les deux produits égaux sont composés identiquement des mêmes facteurs.
165. Remarque L Nous avons démontré qu'un polynôme du degré m peut être décomposé en un produit de»i facteurs du premier degré
Si fon remplace x par l'une quelconque des m quantités a, &, c, .M.., ftji l'un des facteurs du second membre s'annule ; les autres facteurs conservant des valeurs finies, le produit s'annule aussi. Les m quantités a,b^c^..*.,yk ^nt donc les m racines de l'équation f{x) ~ o.
L'équation n'admet pas d'autres racines que celles-là; car toute valeur de x^ autre que a, 6, c, ..... ft, n'annulera aucun des facteurs, et, par conséquent, n'annulera pas le produit /"(a?).
166. Remarque IL Nous pouvons luainteuant préciser davantage le sens du théorème démontré au n"" 158. Nous avous dit que, lorsque deux nombres réels, que nous appellerons çû^ et x^^ mis à la place de x dans un polynôme f{x) & coefficients réels, donnent des résultats de signes contraires, ces deux nombres comprennent au moins une racine réelle du polynôme. Nous pouvons ajouter que, si ces deux nombres comprennent plus d'une racine ^ ils en comprennent un nombre impair, et que, en outre, lorsque les deux nombres x^ et x^ donnent des résultats dé même signe, ils ne comprennent aucune racine, ou en comprennent un nombre pain
Désignons par a, 6, ..... , c les diverses racines comprises entre x^ et x^ , et écrivons le polynôme f{x) sous la forme
(p(a?) représentant le produit des facteurs qui correspondent aux autres racines. En remplaçant x successivement par x^ et a:^ , on a
f(x^) = (x^ — a)[x, — b) (or^ — e)<p(a?,).
Nous remarquerons d'abord que (p(a?J et ^{x^ sont dçs quantités de même signe ; autrement, les deux nombres x^^ix^ comprendraient encore une autre raôine, ce qui est contraire à l'hypothèse. Supposons x^ plus petit que x^\ le nombre x^ étant plus grand que les racines a, 6, ...... e,
chacun des facteurs a?, — a, x^^ — 6, , x^ — e, est positif; donc {[x^ a le signe de ^[x^. Le nombre o?^ étant
plus petit que les racines a, 6, , «, chacun des facteurs
x^— a> «^ — 6, ..♦.., x^ — «f est négatif. Si le nombre de ces {Mteurs est pair, f{x^ aura le même signe que <t{x^i
et, par conséquent, que f[x^ ^ si le nombre des facteurs est impair, f[x^ aura un signe contraire à celui de (p(a?J, et par conséquent contraire à celui de f{x^. Ainsi les deux résultats f[x^ et f{x^ ont le même signe ou des signes contraires, selon que le nombre des racines réelles comprises entre x^ et a?, est pair ou impair.
Des considérations géométriques très-simples font bien comprendre cette proposition. Imaginons que l'on représente par une courbe la fonction f{x)i comme nous l'avons expliqué au n* 93, en portant sur un axe horizontal OX, à partir d'un point fixe O les valeurs de a?, et élevant des perpendiculaires ou ordonnées égales aux valeurs corres-
pondantes de la fonction, dans un sens ou dans l'autre, suivant le signe. Les racines réelles de l'équation f[x) =o correspondeftt aux points où l'ordonnée devient nulle, c'est-à-dire où la courbe coupe l'axe OX. Si la courbe coupe l'axe au point M, la longueur OM est une racine de l'équation.
Supposons que deux valeurs OA et OC de la variable x donnent au polynôme des valeurs de signes contraires — AB et + CD ; pour aller du point B au point D, la courbe devra nécessairement couper l'axe OX en un certain point M, et
réquation admettra une racine OM comprise entre OA et OC. Mais la courbe peut couper Taxe en plusieurs points, comme le montre la ligne ponctuée; dans ce cas elle le coupe en un nombre impair de points P, M, Q.
Supposons maintenant que les deux valeurs OA et OC de la variable u donnent à la fonction des valeurs -f AB et 4- CD de même signe. La courbe pourra aller du point
B au point D sans rencontrer Taxe OX, et l'équation n'aura pas de racine dans l'intervalle 5 si elle coupe l'axe, elle le coupera en un nombre pair de points M, P, et l'équation aura un nombre pair de racines dans l'intervalle.
Relations entre les coefficients d'une équation algébrique et les racines.
167. Supposons que l'on ait divisé tous les termes de l'équation par le premier coefficient, afin de la ramener à la forme
0?"* + A^ar*^*.-}" AjX*^-^ + -J- A« = 0.
Cette équation a m racines a, 6, c, ...... ft, et nous avons
démontré que le premier membre f{x) peut être décomposé en un produit de m facteurs binâmes
Si l'on effectue ce produit, il est clair que l'on reproduira
identiquement le polynôme proposé. Or si Ton appelle S, la somme des racines, S, la somme des produits des ntcines deux à deux. S, la somme des produits trois à
trois, , le produit des m facteurs binômes, d'après la
formule établie au n*" 33, se développera de la manière suivant» :
ar — B.ar'*-* + S^x"^-* — S^x"^'^ + d= S«.
En égalant les coefficients des deux polynômes, on a donc
Al = — Sj , . Aj = -f- Sj , Ag = — Sj ,
On en conclut ;
Théorème VIII. Quand le premier coefficient de V équation est T unités i* la somme des racines égale le second coefficient ehangé de signe; 2* la somme des produits des racines deux à deux égale le troisième coefficient ; 5* ta somme des produits des racines trois à trois égale le quatrième coefficient changé de signe f et ainsi de suite. Enfin le produit des racines égale le dernier terme pris avec son signe ou un signe contraire, suivant que m est pair ou impair.
Exemples.
i"" Nous avons déjà reconnu ces relations dans réquation du second degré.( impartie, n*» 145). Si l'on appelle a, 6, e les trois racines d'une équation du troisième degré
x^ + AiX* + A,a; -|- Aj = o,
a-{-b'\'C= — Aj, a6-f-a?4-fc = Aj, flfcss — A,.
2" Résoudre une équation du troisième degré, sachant que l'une des racines est égale à la somme des deux autres*
THÉORIE DBS ÉQUATIONS. 210
Supposons que ia racine a soit égale à la somme b^û des deux autres. De la première relation a + b + cszz-^A^ on
tire 2a = — A, , d'où a= -. La seconde relation s'é-
crivant a(6 + c) + ''c=:Aj donne 6c = Aj — a*=A,— —;
donc les deux autres racines sont fournies par Téquation du second degré
La troisième relation donne 6c = ^ =:= -r-^.
a Aj
Pour que les racines de l'équation du troisième degré jouissent de la propriété énoncée, il faut donc que les coefficients de l'équation satisfassent à la relation
aAj a;
168. Théorème IX. Une iqualion algébrique à coefficients réels a ses racines imaginaires conjuguées deux à deux.
Nous avons dit (n* 149> que,lorsque dans le polynôme /"(a?) on remplace a? par a +6», le polynôme acquiert une valeur de la forme A + Bt. Remplaçons maintenant x par la quantité imaginaire conjuguée a — M; si tous les coefficients sont réels, il est clair que la valeur du polynôme ne différera de la précédente qu'en ce que i aura été changé en — i; on aura donc la quantité conjuguée A— B«.
Si a + W est racine de l'équation f{x)=^o^ le premier résultat est nul, et Ton a séparément A = o, B = o; donc le second résultat est également nul, et la quantité a — bi est aussi racine de l'équation. Ainsi, dans une équation
algébrique dont les coefficients sont réels, les racines ima^naires sont conjuguées deux à deux, et par conséquent leur nombre est toujours pair.
Cette proposition n'est vraie que si tous les coefficients de l'équation sont réels; car s'il y a des coefficients imaginaires, quand on remplace a + bi par a — 6i, on change le signe i dans la valeur de x^ mais non dans les coefficients qui restent constants ; on ne peut plus dire alors que le second résultat sera conjugué du premier.
Nous avons démontré qu'un polynôme du degré m se décompose en m facteurs du premier degré ; mais, parmi ces facteurs, les uns sont réels, les autres imaginaires. Supposons les coefficients réels et considérons les deux facteurs
qui correspondent à deux racines imaginaires conjuguées; le produit de ces deux facteurs
est un polynôme réel du second degré. Ainsi un polynôme à coefficients réels se décomposé en facteurs réels du premier ou du second degré.
169. Remarque. Dans ce qui précède, nous avons supposé les coefficients réels; supposons-les, non-seulement réels, mais encore commensurables ; dans ce cas, si l'équation admet une raison incommensurable de la forme a + s/b, a et b étant des nombres commensurables, elle admettra la racine conjuguée a — \/b. Concevez, en effet, que Ton remplace dans le polynôme x par a+ \/b et que l'on développe les diverses puissances de a + s/^9 suivant
THÉOBIE DES ÉQUATIONS. 22\
la loi du binôme ; comme les puissances paires de v^ sont rationnelles et les puissances impaires de la forme By/ô, B étant une quantité rationnelle, il est clair que l'on arrivera à une expression de la forme P+ Qy^ft, en désignant par P et Q des quantités commensurables. Remplaçons maintenant x par a — v/6 ; si tous les coefficients sont commensurables, la valeur du polynôme ne différera de la précédente que par le signe de ^6, et Ton obtiendra la quantité conjuguée P — Qy^. Pour que a + v^^ soit racine de l'équation, c'est-à-dire pour que la quantité P + Qv^& soit nulle, il faut que l'on ait séparément P = o, Q = o ; donc a — v'^^est aussi racine de l'équation.
Cette propriété, qui a de l'analogie avec la précédente, est beaucoup moins générale ; il arrive rarement que l'équation admette une racine de la forme a+^b; lorsque cela a lieu, le premier membre admet un facteur du second degré
(x — a — v^") (j: — a + v^6) = (or — a)' — i
à coefficients commensurables.
Règle des signes de Descartes.
170. Lorsqu'un polynôme à coefficients réels est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de Xj deux termes consécutifs affectés de signes contraires présentent ce qu'on nomme une varicUion. Par exemple, l'équation
a?' — 3ar* — 20?^ + ^' + 7^ •~" S =
a trois variations : une du premier au second terme, une du troisième au quatrième, une du cinquième au sixième. Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :
222 tnBB VI, CB(AP. n.
Lemme. Lorsqu'on muUiplie un polynùme par x — a, a étant un nombre positifs on introduit au moins une variation nouvelle dans le polynôme.
Un polynôme quelconque, ordonné par rapport aux puissances décroissantes de oî, peut être écrit sous la forme
A >»•** -L À r*+* — ^ A T» — A 'tP+^-J- A tP ± K+i^^ =F A«^' =P A^.
Le polynôme commence par un groupe de termes positifs, puis vient un groupe de termes négatifs, puis un groupe de termes positifs, et ainsi de suite jusqu'au dernier groupe qui commence au terme rp A^x', à partir duquel il n'y a plus de changement de signes. Chaque groupe contient un nombre quelconque de termes et même un seul terme. Les variations se présentent quand on passe du dernier terme d'un groupe au premier du groupe suivant.
En multipliant ce polynôme par x — a, nous aurons
— An+i«
^* 4- Ap
x^* qrA,
qik^,a
zhAffl.
La multiplication par x conserve à chaque terme son signe et donne la première ligne; la multiplication par — a change tous les signes et donne la seconde ligne. Le premier terme Aw»*^* du produit a le signe +5 le terme du degré n + 1, provenant de l'addition de deux termes négatifs, a le signe — ; quels que soient les signes des termes intermédiaires, il est certain qu'entre ces deux termes de signes contraires, il y a au moins une variation ; on retrouve ainsi au produit la première variation du multiplicande, celle qui a lieu de a;*" à x\ De même le terme du degré p+ 19 provenant de l'addition de deux termes po-
THÊORIB DES ÉQUATIONS. SSS
silife, a le signe +; entre les deux termes en a!^^ et en s^\ qui sont de signes contraires, il y a au moins une variation, et l'on retrouve ainsi au produit la seconde variation du multiplicande, celle qui a lieu de a^ à x*. Pour simplifier le raisonnement, nous pouvons réduire le multiplicande aux premiers termes des différents groupes, et ne considérer dans le produit que les termes correspon* dants, c'èst-à-dire ceux dont le degré est supérieur d'une unité} ces termes du produit étant affectés dqs mêmes signes que les termes correspondants du multiplicande, il edt clair que Ton retrouve au produit toutes les variations du multiplicande. Ainsi, quand on sera arrivé au terme en x^S on aura retrouvé au produit toutes les variations du multiplicande. A partir du terme en a;% le multiplicande ne présente plus aucune variation; mais le terme constant ^A^dtt multiplicande, multiplié par — a, donne le dernier terme ±:A^a du produit; ce dernier terme ayant un signe contraire à celui du terme en o^'^S le dernier groupe du produit contiendra encore au moins une variation. On en conclut que le produit contient au moins une variation de plus que le multiplicande.
Il peut arriver que la multiplication par a^*^a introduiae plus d'une variation nouvelle ; dans ce cas elle en introduit
ou S, ou 5, , en général un nombre impair. En effet,
dans chacun des groupes du produit, nous avons retrouvé la variation correspondante du multiplicande ; mais, dans ce groupe, il peut y avoir plus d'une variation ; car les termes intermédiaires, provenant de l'addition de deux termes de signes contraires, ont des signes quelconques; mais, lorsqu'il y en a plus d'une, il y a un nombre impair, c'est-à-dire une, plus un nombre pair, parce que entre deux termes de signes contraires il y a nécessairement un nombre
impair de changements de signes; ainsi chaque groupe du produit pourra introduire un nombre pair de yarialions nouvelles. Le dernier groupe en introduit un nombre impsdr, en tout un nombre impair de variations nouvelles.
171 . Théorème X. Dans une équation algébrique à coeffi-' cienU' réelSi le nombre des racines positivés ne peut surpasser le nombre des variations.
Soit f{x)=^o une équation à coefficients réels ayant un certain nombre de racines positives a, 5, c,.... g. Supposons le polynôme f{x) décomposé en facteurs et désignons par f{x) le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines négatives et aux racines imaginaires conjuguées, nous aurons
D'après une remarque faite au n* 168, le polynôme ç(x) a aussi ses coefficients réels. Or, si nous multiplions ce polynôme successivement par chacun des facteurs binômes x ^a, X — 6,....., a?— g, qui correspondent aux racines positives, chaque multiplication introduisant au moins une variation nouvelle, le produit final f{x) contiendra au moins autant de variations qu'il y a de racines positives.
172. Remarque. Si le nombre des racines positives n^est pas égal au nombre des variations^ il en diffère d'un nombre pair. Nous remarquons d'abord que le polynôme (f{x) a son dernier terme positif, sans quoi il aurait une racine positive, ce qui est contraire à l'hypothèse; ce polynôme contient donc un nombre pair de variations, s'il en contient. D'autre part, nous avons vu que la multiplication par chacun des facteurs x — a introduit un nombre impair de variations, c'est-à-dire une, plus un nombre pair; on aura ainsi
finalement dans le polynôme {{x) autant de variations qu'il y a de racines positives, plus une somme de nombres pairs, c'est-à-dire plus un nombre pair de variations. Par exemple, l'équation
présente trois variations. Elle ne peut admettre plus de trois racines positives ; elle en aura trois ou une. L'équation
ar' — 5ar* + 8a?' — 4'*? + 6 = o
présente quatre variations; elle ne peut admettre plus de quatre racines positives; elle en aura quatre, ou deux, ou pas du tout.
L'équation
présente une seule variation. Elle ne peut avoir plus d'une racine positive, et elle en a certainement une.
\1%. Corollaire. Si dans l'équation f (a?) = 0, on change X en — x^ on obtient une nouvelle équation qui a évidemment pour racines celles de Téquation proposée changées de signes ; ainsi, les racines négatives de la première deviennent positives dans la seconde. Si donc on applique le théorème précédent à Téquation transformée, on aura une limite supérieure du nombre des racines négatives de l'équation proposée.
Soit, par exemple, l'équation
a?* — 3x* — aa?' 4- ^* + 7^ "• ^ = o
en remplaçant x par — a?, on obtient la transformée
— a?* — 3af* + ax' -f a?* — 7X — 8 =; o ,
qui prés^te deux variations. Cette dernière équation admet au plus deux racines positives, et par conséquent la proposée a au plus deux racines négatives. Si elle n'en a pas deux, elle n'en a pas du tout.
De même l'équation
a?'— 5a?« + &c»— 4zr -J- 6 = o
ayant pour transformée l'équation
qui présente une seule variation, a une racine négative et une seule. Nous avons vu déjà que cette équation a au plus quatre racines positives; elle admet donc au plus cinq rarcines réelles ; comme elle a sept racines, puisqu'elle est du septième degré, il s'ensuit qu'elle a au moins deux racines imaginaires.
L'équation
ayant pour transformée
a une racine négative, et une seule. Nous avons vu déjà qu'elle a une racine positive ; donc, elle a en tout deux racines réelles, et, par conséquent, quatre racines imaginaires.
Plus grand commun diviseur algébrique»
174. Supposons que deux fonctions entières de x aient été décomposées en facteurs du premier degré, le produit des facteurs du premier degré communs à ces deux poly-
DÔmes s'appelle leur plus grand commun diviseur algè^ briqtAe.
Je désigne par X et X^ ces deux polynômes, ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de a;, en supposant que X soit d'un degré supérieur ou égal à X, . Je divise X par Xj 5 j'appelle Q le quotient et X, le reste, ce qu donne
Je dis que le plus grand commun diviseur entre X et X^ est le même qu'entre X^ et Xj * En effet, soit {x — a)* un facteur commun à'X et à X^; si l'on pose X=: {x — a)*X', X,= (a? — arx;,ona
le polynôme X,, étant égal au produit de {x — a)" par un polynôme entier, admet aussi le facteur (x — a)\ Ainsi tout facteur de la forme (« — a)** commun à Xet X^ est aussi commun à X^ et à X,. On démontrerait de même que, réciproquement, tout facteur de cette forme commun à X^ et à X, est aussi commun à X et X^. Les facteurs premiers communs étant les mêmes de part et d'autre, les produits de ces facteurs communs, ou les plus grands communs di-* viseurs, sont les mêmes*
Ainsi la question est ramenée à la recherche du plus grand commun diviseur entre X^ et X,. On procédera de la même manière : en divisant X^ par X,, et appelant X, le reste, on aura
Le plus grand commun diviseur entre X^et X, est le même qu'entre X, et X,.
Divisons X, par X,, et supposons que ron trouve un
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reste nul ; il est clair que Xg , divisant exactement X, , est le produit des facteurs du premier degré communs à X, et à X3 ; c'est donc le plus grand commun diviseur cherché.
Ainsi, pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes^ après avoir ordonné ces deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes de x, on divise celui qui est du degré le plus élevé par Vautre^ celui-ci par le reste de la division, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un reste nul. Le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur cherché.
Dfitfjs ces opérations, les restes, et par suite les diviseurs successifs, vont en diminuant de degré; on arrivera donc à un reste nul ou à un reste indépendant de x. Dans le premier cas, les deux polynômes admettent un plus grand commun diviseur algébrique d'un certain degré. Dans le second cas, ils nlen admettent pas, et sont dits premiers entre eux.
175. Remarque. Dans la pratique, afin d'éviter les coefficients fractionnaires, on peut multiplier tous les termes de l'un quelconque des polynômes par une quantité quelconque indépendante de x. De même, si l'on aperçoit un facteur commun aux coeflicients de tous les termes d'un certain reste, on peut le supprimer. Je suppose, par exemple, que pour effectuer la première division on ait multiplié le dividende par un nombre A, et qu'ensuite on ait divisé tous les termes du reste par le nombre B, on aura
AX=X,Q + BXj.
On démontrera comme précédemment que tout facteur de
la forme >^x — ay commun à X et à X^ est aussi commun àXj et à X,, et réciproquement. Ainsi rien n'est changé dans la recherche du plus grand commun diviseur.
Racines communes à detix équations.
