Si les deux équations

X = o , Xj = o

ont n racines communes, les deux polynômes X et X^ admettent n facteurs du premier degré communs, et, par conséquent, ils ont un plus grand commun diviseur du de* gré n. Pour trouver les racines communes à deux équations, on cherchera donc le plus grand commun diviseur des deux premiers membres de ces équations; soit D ce plus grand commun diviseur, T équation

donnera les racines communes aux deux équations.

Si les deux polynômes n'ont pas de plus grand commun diviseur algébrique, les deux équations n'ont pas de racine commune. Si le plus grand commun diviseur est du premier degré, il y a une racine commune; s'il est du second degré, il y a deux racines communes, etc.

Exemples.

!• Trouver les racines communes aux deux équations

Voici le détail des opérations :

■ aa?*— 5ar*+ ^+2

ax+i

a^r'^— 6:r»+ Or*— Qx+ 4

— aa?'+6a?*— 4j:

— aa?*4-5a^'^ — a?-— aa?

— aa?'+ioa?' — i6x-\- 8

+ao?' — 5o!:'+ 0?+ a

5o?' — i5o;+io x^ — 5x-\- a

On a multiplié deux fois le premier dividende par 2 afin d'éviter les fractions, et on a simplifié le reste en le divisant par 5. Le plus grand commun diviseur des deux polynômes est 55* — 3 a? +2. Il y a donc deux racines communes qui seront données par l'équation

ces deux racines communes sont 1 et 3.

2* Résoudre Téquation

sachant que Tune des racines surpasse une autre racine de 2. Posons ic = a;'-{- 2, et remplaçons x par cette valeur dans l'équation proposée, nous formerons la nouvelle équation

OU, en développant et supprimant l'accent,

a:* + 4a?^ -|- 4a?' — 4ar — 5 = 0.

BAGINES ÉGALES. 231

De la relation iip=aj'4-2, on déduit ^=5= a? — 2; lea valeurs de a/, ou les racines de la nouvelle équation, sont inférieures de deux unités aux valeurs de 00^ c*est-à-dire aux racines de l'équation proposée; celle-ci ayant deux racines telles que a et a +2, la seconde admettra les racines a — a et a; il en résulte que les deux équations ont une racine commune a, et par suite, les deux polynômes un plus grand commun diviseur du premier degré. En cherchant ce plus grand commun diviseur, on trouve a?— i. Ainsi l'équation proposée admet la racine 1, et, par conséquent, la racine 1 + ^ ^^ ^ ; connaissant deux racines, là division par 27 — 1 et par x — 3 ramènera l'équation à une équation du second degré a?* + 1 = o, qui donnera les deux autres racines.