CHAPITRE IIL

177. Nous avons expliqué (n* 103) comment on décompose un polynôme entier f{ûc) du degré m en un produit de m facteurs du premier degré

Cette décomposition ne suppose pas que les quantités

a, 6, c, , k, soient différentes les unes des autres. Si

parmi ces quantités plusieurs sont égales entre elles, on dit que l'équation a des racines égales.

Supposons 6 =a; le polynôme contient le facteur (âs— a)%

et la racine a est dite racine double. De même, si a=6=c, le polynôme contient le facteur (^ — a)* et la racine a est racine triple. En général, lorsque le polynôme contient le facteur (x — a)**, on dit que l'équation a n racines égales à a, ou que la racine a est du degré n de multiplicité. De cette manière, les théorèmes généraux sur les équations subsistent : ainsi, en tenant compte du degré de multiplicité des «racines 9 une équation du degré m a toujours m racines, etc.

Quand x, variant d'une manière continue, passe par une racine a, le polynôme s'annule, mais il ne change pas toujours de signe. Appelons n le degré de multiplicité de la racine; posons

f(x)=:{x — aYx^[x),

et attribuons successivement à x les valeurs a — h et a+ft, h étant une quantité positive très-petite, on a

f[a-h) = (-hrx^{a-h),

On peut supposer la quantité h assez petite pour que le polynôme ç(a?) n'ait aucune racine comprise entre a — fc et a + ft; les deux quantités (p(a — h) et ç(a + ft) ont donc le même signe; on voit par là que les quantités f{a — h) et f{a + ft) ont le même signe si n est un nombre pair, des signes contraires si n est un nombre impair. Ainsi, U polynôme change de signe quand x passe par une racine simple ou d*un degré impair de multiplicité; il ne change pas de signe quand x passe par une racine d'un degré pair de multiplicité.

On peut remarquer que, dans ce dernier cas, la valeur zéro, que prend le polynôme pour a? = a, est un maximum ou un minimum.

178. Théorème. Une racine d'ordre n annule le polynùme et ses n — i premières dérivées^ et réciproquement.

Soit f{x)=o l'équation proposée. Nous pouvons écrire f{x) = f{a+x — o), et, regardant x — a comme un accroissement, développer suivant la loi connue ; nous aurons

(i) fix) = f{a)+l^{x-a)+C^(x^aY +

Le premier terme f{a) étant nul, puisque a est racine, on peut diviser par x — a, ce qui donne

fK^fM + m(,^a) + rMi,aY +

Si a est racine double, le quotient, devant contenir encore une fois le facteur x — a, s'annulera pour x=:^a; mais poura?=o, il se réduit à f{a); on a donc f{a)=o, et la racine double vérifie l'équation f{x) = o. En divisant par x— a, on obtient le nouveau quotient

Si a est racine triple, ce dernier quotient, devant contenir encore le facteur x — a, s'annulera pour a; = a, et l'on aura f"{a) =o. Ainsi une racine triple annule le polynôme f{x) et ses deux premières dérivées. En effectuant la division, on a

Si a est racine quadruple, ce dernier quotient, devant contenir encore le facteur x — a, s'annulera pour a; = a, et Ton aura f"{a)z=.o. Ainsi une racine quadruple annule le

28i LIVRE YI, CHAP. III.

polynôme et ses trois premières dérivées. En continuant' ainsi de proche en proche, on voit qu'une racine du degré» de multiplicité annule le polynôme f(x) et ses n — i premières dérivées.

La réciproque est vraie : si a annule le polynôme f(x) et ses n — 1 premières dérivées, elle est racine du degré » de multiplicité de l'équation f{x) == o. Car le développement (1) se réduit alors à

f[x)=J^^^[x^a)- + C!^l^^L—[x-ar' + ,

OU, en mettant {x—aY en facteur, à

Li.2 n ' 1.2 (n-j-i) J

Le polynôme f{x) contenant le factenr (a?— a)**, a est X9r dne d'ordre n*

Il résulte de ces deux propositions qu'une racine d'ordre n annule le polynôme et ses n — i premières dérivées, mais n'annule pas la dérivée suivante.

179. GoROLi;,AiRE L Les racines simples de l'équation f(x):=o ne vérifient pas l'équation f\x) =o.

Les racines doubles de l'équation /'(x)=o sont racines simples de l'équation f{x)=o; car elles annulent le polynôme f'{x)^ et n'annulent pas sa dérivée /"'(x).

Les racines triples de l'équation f{x)=o sont racines doubles de l'équation f\x) == o ; car elles annulent le polynôme f{x) et sa première dérivée f'ix)^ et n'annulent pas la dérivée suivante.

En général, une racine d'ordre n de l'équation f{x) =o est racine d'ordre n— i de l'équation f'Ç^) = o.

180. Corollaire H. Il résulte de là que le plus grand commun diviseur entre un polynôme et sa dérivée est le produit des facteurs multiples qui composent le polynôme proposé^ T exposant de chacun S eux étant diminué d'une unité. En efiet, les racines simples de l'équation f{x)i=^o ne vérifiant pas l'équation f{x) =o, les facteurs simples du polynôme f{x) n'entrent pas dans la dérivée {\x). Les racines doubles de l'équation f(x)'=o étant racines simples de l'équation f{x) = o, les facteurs doubles entrent au premier degré dans la dérivée. En général, soit (a? — a)* un facteur multiple du polynôme proposé f{x) , la racine a d'ordre n étant racine d'ordre n — i de la dérivée, le polynôme f{x) contiendra le facteur (x — a )**'*.

On peut démontrer directement cette proposition en prenant la dérivée du polynôme proposé f{x). Supposons que ce polynôme admette les facteurs multiples (x — a)", (x — by, (a?— c)*, et les facteurs simples (a?— d), {x — c),... de telle sorte que

f{x) = A[x — a)* {x — by [x — c)« [x — d) (x—e)....

En prenant la dérivée de ce produit, suivant la loi connue, on a

/•'(a?) = nA(ar— a)'^*(ar— 6)p [x—c^ (a?— rf)(aî— e)

+ pA(a7— o)" (x—bY'\X'-cY (a:— rf) (ar--e)

+ qk{x—ay [x—by {x--cy-\x—d) [x-^e)

-f Pi{x — a)** (x — by [x—cy [x—e)

+ AiX'-ay [x—by (x~cy (x-d) ,

Tous les termes contenant le facteur

(x — a)*^* (x — 6)"'^ (x — cy-^y

236 LIVRE Vr, CHAP. xu.

on peut écrire

f'{x) = k[x — af-"^ [x — by-' (X — c)«-*

+/>(x — û) (:r — c) [x — d) (x — e), +q{x—a) [x—b] (x— rfj {x — é), + (x — a) (x — b) (x — c) [x — e).

+ {X — a)[x — ô){a?— c) (j?— rf).

On voit déjà que le polynôme f{x) et sa dérivée f\x) admettent le diviseur commun

[x — af-^ [x — J)P-* [x — e^-K

C'est le plus grand commun diviseur. En effet, dans l'expression de f{x)y tous les termes de la parenthèse, excepté le premier, contiennent le facteur x — a; si Ton fait x=a dans cette parenthèse, tous les termes s' annulant excepté le premier, la parenthèse ne devient pas nulle; elle n'admet donc pas le facteur x — a. De même, tous les termes de la parenthèse contenant le facteur x — 6, excepté le second, la parenthèse n'est pas divisible par x — 6, et ainsi de suite. La parenthèse n'admet donc aucun des facteurs premiers rc — a^x — 6, a? — c, a? — à^ x — «, , qui composent le polynôme proposé. On en conclut que le plus gi'and commun diviseur entre les deux polynômes /"(x) et f{x) est bien

(a — xf-^ [x — 6)p-* [x — c)«-* .

181. D'après cela, pour voir si une équation f(x) = o a des racines égales, on cherchera le plus grand commun diviseur algébrique entre le polynôme f{x) et sa dérivée fXx). Si ces deux polynômes n'ont pas de plus grand com-

RACINES ÉGAIES.

mun diviseur, on en conclura que Téquation proposée n'a pas de racines égales. Si ces deux polynômes ont un plus grand commun diviseur du premier degré, l'équation proposée a deux racines égales. Si le plus grand commun diviseur est du second degré, l'équation admet deux racines doubles ou une racine triple ; deux racines doubles, lorsque le plus grand commun diviseur a ses deux racines inégales ; une racine triple, lorsque le plus grand commun diviseur a ses deux racines égales. En général, si k désigne le nombre des facteurs difiérents |qui composent le polynôme proposé, l'exposant de chacun de ces facteurs étant diminué d'une unité, le plus grand commun diviseur est du degré m — ifc.

Comme application, nous chercherons la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de l'équation du troisième degré

pour que cette équation ait deux racines égales. Le polynôme x'+par+g et sa dérivée 5a?* + p doivent admettre un commun diviseur du premier degré; si l'on effectue l'opération du plus grand commun diviseur, quand on sera arrivé à un diviseur du premier degré, on devra trouver un reste nul.

a?^+ px-^- q

3a?* + 5px + Zq • 5a?' — px

6px^ + ^P* 6px* — gqx

2px-\-5q

2px + 3 j — 9ja? 4" ^P*

— iSpqx + Up^

233 LiYBE m, QSAP. m.

Ainsi la condition demandée est Ap' + a 7qf* = o, ou

L'équation 2pa?+5g = o, que Ton obtient en égalant le plus grand commun diviseur à zéro, donne la racine double

x= -. La somme des racines étant nulle, la troisième

racme est — .

Par exemple, les co^cients de Téquation

vérifiant la condition précédente, Téquation a deux racines égales à -f 3 ; la troisième racine est — 6.

182. Expliquons maintenant comment on ramène la résolution d'une équation qui a des racines égales à celle d'autres équations de degrés moindres dont les racines soQt inégales. Soit X=o une équation qui admet des racines de différents ordres, par exemple, des racines simples, des racines doubles, triples ou quadruples. Si Ton désigne par Xj le produit des facteurs simples, par X, le produit des facteurs binômes qui correspondent aux racines doubles, chacun étant pris seulement au premier degré, et de même par X3 et X^ les produits des facteurs binômes qui correspondent aux racines triples ou quadruples, on écrira le polynôme X sous la forme

x=x,xîxjxî.

Cherchons le plus grand commun diviseur D entre le polynôme X et sa dérivée; ce plus grand commun divi-

seur étant égal au produit des facteurs multiples dont on diminue les exposants d'une unité, on aura

D=x,x;xî.

De même, le plus grand commun diviseur entre le polynôme D et sa dérivée sera

D, = X,XÎ,

et enfin le plus grand commun diviseur entre le polynôme Dj et sa dérivée sera

En divisant deux à deux les polynômes précédents, on obtient les quotients

:XjXjXjX4,

: AjXjA^,

Divisant chacun de

ces nouveaux polynômes

par

le

sui-

vant,

on a enfin

Une fois trouvés ces polynômes Xj, X,, X,, X^, la

résolution de l'équation proposée est ramenée à celle des équations

Xj=0, X,=:o, X5 = o, X^ = o,

qui n'ont plus déracines égales; la première donne les racines simples de l'équation proposée, la seconde les racines doubles, la troisième les racines triples, etc.

Ainsi, powr ramener la résolution dCune équation qui a des racines égales à celles d'autres équations de degrés moindres ayant leurs racines inégales, on cherche le plus grand commun diviseur entre le premier nombre de Véquaiion et sa dérivée^ le plus grand commun diviseur entre ce premier plus grand commun diviseur et sa dérivée^ et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un polynôme premier avec sa dérivée; on divise ensuite le polynôme proposé par le premier plus grand commun diviseur ^ le premier par le second^ et ainsi de suite ; on divise, enfin, chacun de ces quotients par le suivant, et l'on égale à zéro ces nouveaux quotients. On obtient de la sorte des équations donnant, la première les racines simples^ la seconde les racines doubles, la troisième les racines triples, ,de V équation proposée.

Exemple.

Soit Téquation du septième degré

En cherchant le plus grand commun diviseur enti'e le polynôme X et sa dérivée, on trouve

en cherchant le plus grand commun diviseur entre le polynôme D et sa dérivée, on trouve

ce dernier polynôme est premier avec sa dérivée. Divisant CCS polynômes Tun par l'autre, on aies quotients

IlACINEà ENTIÈRES. 241

De nouvelles divisions donnent

D4 = a: — i; et Ton arrive aux trois équations

x^'\'X-\-\-=^Of ar + 1 = o, x — i = o.

La première donne deux racines simples imaginaires, la seconde une racine double — i, la troisième une racine triple +!•