Soit
Téquation proposée, dont nous supposons tous les coefficients commensurables et même entiers ; car s'ils n'étaient pas entiers, on les rendrait tels en multipliant tous les termes de l'équation par un nombre convenable. Nous avons expliqué (n* 162) comment on effectue la division par a? — a du
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polynôme f{x) ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x; le premier coefTicient du quotient est égal au premier coefficient du dividende, et Ton forme chacun des autres coefficients en multipliant le coefficient précédent par a et ajoutant le coefficient correspondant du dividende. Si tous les coefficients du dividende sont entiers, si, déplus, a est un nombre entier, positif ou négatif, il est clair que le quotient ainsi formé aura aussi tous ses coefficients entiers, puisqu'on les obtient en combinant des nombres entiers par multiplication et par addition .
Imaginons niaintenant qu'ayant ordonné le polynôme par rapport aux puissances croissantes de Xy
f[x) = A« + A^,^ + k^^x^ + + t^i^' + Aoar%
on le divise par a — x; le diviseur étant seulement changé de signe, le quotient changera simplement de signe, et par conséquent aura toujours ses coefficients entiers. Effectuons cette division
(Cin-i +Am.i)a?+Am-sa;«4- A«..8a?»« .. -f A<^
(Cm-»+A«-4)a?*-f Am-ja?'.... ^k^
(Cm-8+ Am-a)^^- • •• + ^v^
C«-i-i- Cm-sa?+C«-8a^'- +Cia?*-HC,«-
(C,-fAOa;~-*+Aofl?^ (Co+Ao)a?-
A^ Le premier coefficient est — ; ce nombre doit être entier;
ainsi, une première condition à laquelle doit satisfaire une racine entière, c'est de diviser exactement le dernier terme km de l'équation. Pour abréger, représentons par C^^ le premier terme du quotient; multiplions-le par le diviseur a— X et retranchons du dividende; le produit par a
BAGINSS ENTIÈRES. SAt
détruira le premier terme A„ du dividende, le produit par — X s'ajoutera au second terme; de sorte que le second dividende aura pour premier terme (C^^^ -j- A^J ar, les termes suivants* restant les mêmes que dans le dividende proposé. Si Ton divise ce premier terme par a, on aura le
C + A second terme ^-i ~ *^i ^ du quotient : ce second coefficient doit être entier; appelons-le C,^,. Multiplions le second terme C^jO? du quotient par a — xtt retranchons du dividende ; le produit par a détruit le premier terme du second dividende, le produit par — x s'ajoute au second terme; de sorte que le troisième dividende aura pour premier terme (C^, + A^^,)^?*, les termes suivants restant les mêmes que dans le dividende proposé. Si Ton divise ce premier terme par a, on aura le troisième terme
C 4-A *^»T , r^* a;' du quotient; ce troisième coeflScient, que
nous représenterons par C^,, doit être entier, etc.
La loi est générale : on obtient un coefficient quelconque du quotient en ajoutant au précédent le coefficient du terme qui occupe dans le dividende le même rang que le terme que l'on veut former, et divisant la somme par a.
On arrivera ainsi au dernier dividende
c +A qui donnera le dernier terme ^~ ^af^^ du quotient; le
C +A dernier coefficient * * , que nous représenteronsjpar C^,
doit aussi être entier. En multipliant le diviseur par le dernier terme C^x'^^ du quotient et retranchant du dividende, on obtient le reste de la division (C^+ A^)aî**. Si a est ra-
2hh UVRE VI, GHÂP. IV.
cîne de Téquation, le reste est nul, et Ton a C^^ + A<j=o.
ISA. 11 résulte de ce qui précède que si l'on veut trouver les racines entières d'une équation à coeflScients entiers ordonnée suivant les puissances décroissantes de j?, on n'essayera que les diviseurs du dernier terme, et l'on procédera de la manière suivante :
Règle. Pour voir si un nombre entier a est racine de Téquation^ on divisera le dernier terme par ce nombre; on ajoutera au quotient le coefficient de Vavant-demier termes et Von divisera la somme par a; on ajoutera au quotient le coefficient du terme précédent ^ et fon divisera la somme par ^^ et ainsi de suite. Toutes ces divisions doivent se faire exactement, et quand ^on aura ajouté le coefficient du premier terme de téquationi on devra trouver un résultat égal à zéro.
Lorsqu'un nombre entier a satisfait à toutes ces conditions, il est évidemment racine de l'équation ; c'est ce qu'indique spéciarlement la dernière condition, qui exprime qae le reste de la division du premier membre de l'équation par a — œ ou par x-^a est nul. On abaissera alors le degré de l'équation proposée en divisant son premier membre par œ — a; mais il est à remarquer que le quotient est tout calculé; les coefficients de ce quotient sont précisément les quotients entiers obtenus dans les opérations précédentes cbangés de signes. On continuera les essais, non plus sur l'équation proposée, mais sur l'équation simplifiée.
Exemples.
!• Trouver les racines entières de l'équation
jr« — a:* -* &r* — ar* + ar + 6 = o.
BAGINES ENTIÈBES. 2i5
On commencera par essayer i ; pour que i soit racine, il faut que la somme des coefficients positifs égale celle des coefiScients négatifs : c'est ce qui a lieu : doue j est racine. On divisera le premier membre de l'équation par X — 1 , d'après la règle du n* 162, et l'on aura à considérer l'équation
a?' — dr' — ^x^ — 7a? — 6 = 0.
Cette équation n'admet plus la racine 1 ; on essayera — 1 : si l'on remplace x par — i , on a un résultat nul
donc — 1 est racine. On divisera l'équation par a?+ 1 , d'aprèd la même règle, et l'on aura l'équation ar* — ic« — 5a;* — X — 6 = 0.
Après s'être assuré que cette équation n'admet plus pour racine — 1 , on essayera les diviseurs du dernier terme 6, pris avec le signe + ou le signe — . Essayons d'abord le diviseur le plus simple +2 , et pour cela procédons d'après la règle formulée plus baut; parcourant le polynôme de droite à gauche, nous dirons : le dernier terme — 6 divisé par 2 donne — 3; ajoutons le coeflScient suivant — 1, on a
— 4 qni, divisé par 2, donne — 2 : ajoutant le coefficient suivant — 5, on a —7, qui n'est pas divisible par 2 : ainsi 2 n'est pas racine.
Essayons maintenant — 2, et écrivons les quotients successifs de droite à gauche,
Le dernier terme — 6 divisé par — 2 donne + 3 ; ajoutant
— 1-, on a + 2 qui, divisé par — 2, donne —1; ajoutant
— 5, on a— 6 qui, divisé par — 2, donne +3; ajoutant
— 1, on a +2 qui, divisé par — 2, donne —1; ajoutant le premier coefficient + 1 , on obtient pour résultat zéro. Ainsi — 2 est racine. Les nombres écrits plus haut, changés de signes, sont les coefficients du quotient de la division du premier membre de l'équation par a: + 2;. on écrira donc immédiatement l'équation
a?' — Zx* + â? — 5 = 0.
Le nombre — 2 ne peut être une seconde fois racine, puisqu'il ne divise plus le dernier terme. Les seuls nombres à essayer sont maintenant les diviseurs de 5, savoir + 3 et
— 3. Si l'on essaye + 3, on a les quotients
donc +3 est racine, et, en divisant par a?— 3, on arrive à l'équation du second degré
qui a deux racines imaginaires + i et — i.
L'équation proposée est complètement résolue : ses six racines sont +1» — »» — 2, +d^ +i, — 1.
2® Déterminer les racines entières de l'équation
2X^ — laar' + iZx — i5 = o.
La transformée en — x ne présentant pas de variation , l'équation proposée n'a pas de racine négative. On n'essayera donc que des nombres positifs. Après avoir reconnu que — 1 n'est pas racine, on essayera les diviseurs de 1 5. Voici le tableau des opérations :
ax^ — 122?*+ iZx — i5=
