Remarque. Souvent on diminue beaucoup le nombre

des essais en cherchant des limites qui comprennent toutes les racines de l'équation proposée. On appelle limite supérieure des racines positives d'une équation un nombre plus grand que la plus grande racine positive.

Considérons d'abord une équation qui ne présente qu'une seule variation

Cette équation, n'ayaht qu'une variation, n'admet qu'une seule racine positive a. Imaginons que Ton fasse croître a; de zéro à + <=« ; tant que x reste inférieur à la racine a, le polynôme conserve une valeur négative. Dès que x dépasse a, le polynôme devient positif; l'équation n'ayant pas d'autre racine positive , le polynôme . ne change plus de signe et par conséquent reste constamment positif au delà de a. On en conclut que toute quantité qui rend le polynôme positif est plus grande que a, ce qui donne une limite supérieure de la racine positive. Dans l'exemple actuel, 4 est une limite supérieure.

Soit maintenant une équation quelconque

Partageons-la en groupes de termes ordonnés suivant les puissances décroissantes de^?, et ne renfermant chacun qu'une variation ,

x*(a?' — &zr — 5) + (58;r' — 144) = o.

En substituant des nombres entiers consécutifs, on voit que 0? = 7 rend positif le premier groupe ainsi que le second ; pour toutes les valeurs de x supérieures à 7 les deux groupes ayant des valeurs positives , le polynôme a

RÀCmES- GOMMENSURABLËS. 2h^

aussi une valeur positive; donc 7 est une limite supérieure des racines positives de l'équation.

On obtient de la même manière une limite supérieure des racines négatives. Si l'on change le signe de or, l'équation devient

a?* + 6a?* — 5a:* — 58x* + §44= 0; on -l'écrira

x»(a?» + 6ar« — 5a: — 58) 4- 144 = o.

Le nombre 5, rendant positif le premier groupe, est une limite supérieure des racines positives de cette équation. Ainsi toutes les racines réelles de l'équation proposée sont comprises entre — 3 et + 7.

D'après cela, si l'on veut chercher les racines entières de l'équation

ar'— 6a;* — 5x' + 5ar'~ i44=o,

il suffira d'essayer les diviseurs de i44 qui sont compris entre — 3 et +7. On trouve d'abord les racines —a et +3, ce qui réduit l'équation à

Les nombres 4- A et -f ^ ^^ sont pas racines ; il est inutile de pousser les essais au delà ; il est certain que cette dernière équation n'a plus de racine entière.

Recherche des racines commensurables fractionnaires.