Nous supposons toujours que l'équation
a ses coefficients entiers. Une racine commensurable quel-
250 LIVRE VI, CHAP.' lY.
conque pourra être mise sous la forme d'une fraction irréductible r t et Ton aura
Si Ton multiplie par 6*""S cette relation devient
^=(A,a-^ + A,ôa-« + +A^é«-^);
le second membre étant entier, le premier doit l'être aussi ; mais 6 est premier avec a et par suite avec a** ; donc 6 divise A^. Ainsi , toute racine commensuràble a pouf déiumtfnateur un diviseur du premier coefficient de V équation. En multipliant par b^ et divisant par a , on a de même
^=-(A,a-^ + A,ôa-* + +A^**^*)î
le second membre étant entier, le premier Test aussi ; or a est premier avec 6"*; donc a divise A^. Ainsi te numérateur est un diviseur du dernier coefficient de Véquation.
Il résulte de là qu'une équation à coefficients mtier$t dmt le premier coefficient est Tunité^ n'a pas de radf^ commet!^ siirable fractionnaire* En effet , le dénominateur d'une racine commensuràble , devant diviser le premier coeflScient qui efit Tunité, est lui-même égal à ua, et par conséquent la racine est entière. Ainsi, dans ce cas, toutes les racines commensurables sont entières.
Ceci nous donne un moyen facile de ramener la recherche des racines commensurables fractionnaires à celle des racines entières. On conçoit, en eÎQfet, que si l'on multiplie
RACINES GCHIfMENS0RABI.ES. 251
par un nombre entier convenable les racines de Téquation proposée, on rendra entières toutes les racines commensu-*
râbles fractionnaires. Posons donc oê = fco?, d'où a? = v- , et
dans l'équation. proposée remplaçons â? par -r-, nous obtiendnms la nouvelle équation
Déterminons maintenant le nombre entier fc de manière qu'en chassant les dénominateurs pour rendre les coefficients entiers, on réduise en même temps le premier coefficient à l'unité. Cette opération réussira toujours quand on prendra fc = A^^ ; en effet, si l'on multiplie par fc*"""\ on met l'équation sous la forme
si fc = Aç , cette équation devient, l'accent étant supprimé,
(2) a?^4-Aia?*^*4.A,Aoa?*^« + +A^Ao'^* = o.
Cette dernière équation, dont les coefficients sont entiers et le premier coefficient égal à l'unité, a toutes ses racines com-
mensurables entières. Nous avons posé a? = y , c'est-àdire que les racines de l'équation (1) sont égales à celles de l'équation (2) divisées par fc; ainsi, quand on aura trouvé les racines entières de Téquation transformée (2) , en les divisant par fc, on obtiendra toutes les racines commensurâbles de l'équation proposée.
On comprend pourquoi l'opération réussit toujours quand on prend ft = A^ ; les racines commensurables ayant pour
dénominateur des diviseurs de A^ , il est clair que ces racines, multipliées par A^, deviennent toutes entières.
Lorsqu'il s'agit de trouver les racines commensurables d'une équation, on commence par chercher les racines entières, et, s'il y en a, on divise l'équation par les facteurs binômes correspondants. On détermine ensuite les racines fractionnaires à l'aide des racines entières de l'équation (2) ; mais , dans la recherche des racines entières de cette dernière équation , il est inutile de pousser les essais jusqu'au dernier terme ; car la plus grande racine de l'équation proposée étant au plus égale à A^ divisé par le plus petit diviviseur de A^ , la plus grande racine entière de l'équation (2) sera au plus égale à k fois celle-ci ; on s'arrêtera à cette limite.
Exemples.
l"" Trouver les racines commensurables de l'équation
(i) 2a:* 4" ^' — 10^' — 257+ ia = o.
On trouve d'abord la racine entière — 2 ; divisant par 0? + 2, l'équation se réduit à
(sj) 2a?' — 5ar' — 4^+ 6 = o.
Cette équation n'ayant plus de racine entière, on la traos-
forme en remplaçant x par - , ce qui donne
(3> a?"— 5a?" — 8ar+24 = o.
Les racines fractionnsdres de l'équation (2) ne pouvant être
queqi-et±-, on cherchera les racines entières de
l'équation (3) seulement parmi les nombres] + 1 et d=5;
RACINES GOMMENSURÂBLSS. 2SS
on trouve que + 5 est racine; ainsi l'équation proposée
admet la racine fractionnaire -.La dernière équation divisée
para? — S conduit à Téquation du second degré
qui a deux racines incommensurables ±âv^^ d'où résultent pour l'équation proposée les racines incommensurables =1= ^. Ainsi les quatre racines de l'équation proposée sont
2^ L'équation (i) 4a:*— a8a?' + 45x'— &c— i8 = o
n'a pas de racine entière. Si l'on remplace x par r, et si l'on multiplie par fc% elle devient
•p— -T — h45^ — 6Aa:— i8A« = o;
pour opérer la transformation , il suffit de prendre k = s , ce qui donne
(a) a:* — i4a:'4-45a:*— laa? — 73 = 0.
Les racines fractionnaires de l'équation proposée, devenant entières quand on les multiplie par a, ne peuvent être que
± - , di - , ± ^ ; on essayera donc dt 1, =t 5, db 9. a a a
L'équation (2) admet la racine — 1 ; la divisionpar » + 1 donne l'équation
a* — i5ar' + 6oa: — 7a = 0.
Cette dernière admet la racine S; la division par a:— 3
254 UYBE Tl, CHAP. Vf.
conduit à Féquation du second degré
x^ — iaa? + 24 = o,
dont les racines a? = 6 zfc y/îâ sont incommensurables. Ainsi les quatre racines de Téquation proposée sont
187. Deuxième méthode. Il est à remarquer que lorsqu'une équation
Aoi'» + A,ar'^* + +A^jar + A«»==o
a ses coefficients entiers et que Ton divise le premier membre par le facteur binôme x — ^ , qui correspond à une
racine commensurable fractionnaire ^t le quotient a aussi
ses coefficients entiers. Supposons que l'on effectue la division en ordonnant , par rapport aux puissances décroissantes de a?, comme nous l'avons expliqué au n'*162. Le premier coefficient du quotient est A^,; on obtient le second en multipliant le premier par ^ et ajoutant A^ ; le
troisième en multipliant le second par j- et ajoutant A,, et
ainsi de suite. Si les coefficients du quotient ne sont pas entiers, ils ne pourront contenir à leurs dénominateurs que les facteurs premiers de 6. '^
Supposons maintenant que Ton divise le polynôme par
- — X, en ordonnant par rapport aux puissantes croissantes de X. On obtient le premier coefficient du quotient en divisant A« par - , ce qui revient à multiplier par -. Si à ce
RACINES GOMMENStRABiES. 255
premier coefficient on ajoute Â^.i et si l'on multiplie par
-, on a le second coeflîcient du quotient, et ainsi de suite.
On en conclut que , si les coefficients du quotient ne sont pas entiers, ils ne pourront contenir à leurs dénominateurs que les facteurs premiers de a. Mais nous avons déjà vu que ces mêmes dénominateurs ne peuvent contenir que les facteurs premiers de bt comme a et 6 sont premiers entre eux, tous ces dénominateurs se réduisent à l'unité, et par conséquent les coefficients du quotient sont entiers.
Non-seulement les coeflBicients du quotient sont entiers, mais encore ils sont tous divisibles par 6. Car, si Ton désigne par A^ , Bj , B, , les coefficients du quotient ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x^ on a
Pour que B^ soit entier, il faut que b divise A^ , ce que Ton sait déjà. Pour que B, soit entier, il faut que 6 divise Jft^ , et ainsi de suite.
Les deux manières d'eflfectuer la division peuvent être appliquées pour l'essai direct des racines commensurables fractionnaires. On choisira l'une ou l'autre, suivant les cas.
Exmnples* !• Reprenons l'équation
S56 LivBB n, ghàp. iy.
dont il a déjà été question. Après avoir reconnu que cette
équation n'a pas de racine entière» cherchons les racines
fractionndres. Essayons d'abord -5 si nous calculons le
quotient de droite à gauche, comme pour les racines entières,
il faudrait diviser successivement par-, ce qui revient à
multiplier par 2; toutes les opérations seraient possibles, et il faudrait aller jusqu'au bout pour voir si le reste est nul. Au contraire, en calculant de gauche à droite, il faut multiplier successivement par -ce qui revient à diviser par » ; nous emploierons donc de préférence ce second procédé : 4multiplié par-donne 2, et — 28.,f— 26^ — 26 multiplié
par-donne— i3et + 45 +52; + 52 multiplié par-
donne + 16 et— 6 + 10; +10 multiplié par - donne
+ 5 et — 18 — 13. Il arrive ici que l'opération se prolonge jusqu'à la fin ; mais le reste— 1 3 n'est pas nul; donc n'est pas racine.
Essayant de la même manière, toutes les opérations
sont possibles, et l'on arrive à un reste nul; donc est
racine, et l'on a le quotient
4r' — Zox* + 6ox — Z6=:o, ou, en divisant tous les termes par 2,
ax* — \Sa^ + Zox —18 = 0.
RÂCmËS GOMMKNSfJRABLES. 257
Après avoir essayé encore une fois , on essayera - ,
mais en allant de droite à gauche : — 18 divisé par -
donne — 12 j ajoutant -f 3o on a + 18 qui, divisé par-,
donne +12; ajoutant — 15 on a — 3 qui, divisé par-,
donne — 2 ; ajoutant le premier coefficient + 2, on obtient
un résultat égal à zéro. Donc - est racine, et le quotient
de la division par x est
aa?' — laa: -j- 12 = 0, ou
Cette équation du second degré donne deux racines incommensurables.
2* Trouver les racines commensurables de l'équation
Après avoir reconnu que cette équation n'a pas de racine entière, on essayera la fraction - en allant de gauche
à droite, et l'on verra que cette fraction est racine. Dans
l'équation simplifiée, on essayera les factions dz-^, iJz -r,
et l'on verra que — ^ est racine. L'équation à laquelle on o
arrive, ayant son premier coefficient égal à l'unité, n'a plur.
de racine comiuensurable. Voici le tableau des calculs :
i5, + ai, -39, —18,
ic* + x — 3=0.
1 88. Remarque h Nous avons expliqué (n^ 182) par quelle suite d'opérations, étant donné un polynôme X, on peut trouver des polynômes X^, X^^X,,..... formés, le premier des facteurs simples du polynôme proposé, le second des facteurs doubles, le troisième des facteurs triples, etc. Ces opérations consistant en divisions, il est clair que si le po* lynôme proposé X a ses coefficients commensurables, les
polynômes X,, X,, , qu'on en déduit, auront aussi leurs
coefficients commensurables. Supposons que le polynôme X n'ait qu'une racine a d'un môme degré n de multiplicité; le polynôme X„ sera du premier degré, et par
RACINES GOMMENSURABLËS. 2Ô9
conséquent la racine a fournie par l'équation du premier degré X„ = o , à coefficients commensurables, sera commensurable. Ainsi» quand une équation à coefficients commensu^ râbles a une seule racine d'un mime degré de multiplicité^ cette racine est commensurable.
189. Remarque IL Lorsqu'une équation de troisième de* gré admet des racines égales, elle a, ou une racine double et une simple, ou une racine triple; dans les deux cas, d'après ce qui a été dit précédemment, les racines sont commensurables.
Lorsqu'une équation du quatrième degré admet des racines égales, elle a, ou une racine double et deux racines simples, ou deux racines doubles, ou une racine triple et une racine simple, ou une racine quadruple. Dans le premier cas la racine double est commensurable , dans le troisième cas la racine triple et la racine simple le sont également, et de même dans le quatrième cas la racine quadruple. Mais, dans le second cas, les deux racines doubles, étant données par une équation du second degré, sont en général incommensurables.
Lorsqu'une équation du cinquième degré admet des racines égales, elle a ou une racine double et trois simples, ou deux racines doubles et une simple, ou une racine d'un degré égal ou supérieur à trois; dans tous ces cas, l'une au moins des racines est commensurable.
Ainsi, quand une équation^ à coefficients commensurables et d'un degré égal ou inférieur à cinq^ a des racines égales, cette équation a au moins une racine commensurable^ ex^ ceptc quand le polynôme est du quatrième degré et carré parfait.
Tant que le degré de Téquation ne surpasse pas cinq, on
260 LIVRE YI, CHAP. V.
peut donc se dispenser d'appliquer à l'équation la méthode des racines égales, qui exige en général de longs calculs. Après avoir reconnu que le polynôme n'est pas carré parfait, on appliquera à Téquation la méthode des racines commensurables; mais, quand l'équation est d'un degré plus élevé, elle peut avoir des racines égales sans avoir des racines commensurables.
Exercices.
!•* Appliquer la méthode des racines égales aux équations
x^ — 70?'' — 2X*+ 1 1 8a:* — aSgo?*— 83a?*4 6 1 ax'— i o8^ — ^433 = o a?'-f 2X^-^x'^ -)-6a?®+7^' — 2X*+3^'+3*'— * ^^ — 8=o,
2» Chercher les racines commensurables des équations
x^ + Sx'^ + x^ — i6a;* — aoa? — i6=o, %jc^ — 53x+ io5 = o,
6x^ — igr' + i3a?* — aoar* -f-48x' — i6 = o, i5a?* + i(k'* — 46jc'— 507 -f- 6 == o.
