THÉORÈME DE ROLLE

Soient a et 6 deux racines réelles consécutives du polynôme entier f{x); supposons a plus petite que 6 et imaginons que Ton fasse varier a? de a à 6; pour x=a la fonction f{x) est nulle; elle s'annule de nouveau pour a?= 6. Ainsi, quan J x varie de a à 6, la fonction f{x) part de zéro pour revenir à zéro; comme elle reste finie et continue, elle passe par un maximum en valeur absolue ; la dérivée f(x) change donc de signe, et, comme elle reste elle-même finie et continue, elle passe par zéro. La dérivée, peut s'annuler plusieurs fois, parce que dans l'intervalle de a à 6, la fonction f{x) peut éprouver plusieurs alternatives d'augmentation et de diminution. Ce théorème est vrai pour les fonctions continues quelconques, quand la dérivée est elle-même finie et continue. Nous nous sommes servi de cette propriété au n^ 137 pour la démonstration de la série de Taylor.

I9i. Corollaire. Deux racines réelles consécutives de la dérivée ne comprennent pas plus d'une racine réelle du polynôme proposé. Car si deux racines réelles consécutives a' et V de la dérivée comprenaient deux racines réelles a et 6 du polynôme proposé, ces deux racines réelles a et 6 comprendraient elles-mêmes une racine de la dérivée, ce qui est impossible.

Mais il n'est pas certain qu'entre les deux racines consécutives o' et y de la dérivée, il y ait une racine du polynôme proposé. Pour décider la question, il suffira de substituer a' et fc' à la place de x dans le polynôme; si l'on obtient deux résultats de même signe, il n'y a aucune racine dans l'intervalle ; si l'on obtient deux résultats de signes contraires, îl y a une racine. Soient a', 6', c',... hl les racines réelles de la dérivée f{x) rangées par ordre de gran-

deur croissante. Dans le polynôme /(a;) substituons la suite des quantités

— OÎ>, dy Vy c\ A', -f" ^^

et examinons les signes des résultats. Chacun des intervalles comprendra zéro ou une racine du polynôme /*(^), suivant que les résultats seront de môme signe ou de signes contraires. Ainsi, qaanà on sait résoudre ladérivéct on peut Prouver le nombre des racines réelles de Véquation proposée. Si n est le nombre des racines réelles de la dérivée, le nombre des intervalles étant n+i, on en conclut que l'équation proposée admet au plus n + 1 racines réelles.

Équations du troisième degré.