ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ

de signe, comprendra une racine réelle, et T équation du troisième degré aura ses trois racines réelles.

193. Mais nous réduirons d'abord l'équation à une forme plus simple. On peut toujburs, par une transformation facile , faire disparaître le second terme d'une équation. Soit Téquation

Posons x=y + 1c; l'équation devient

(y+*r+A,(y+Ar-*+ =0,

ou

r+(»wfc+A,)r"' + =0.

Si Ton faitfcrs: — — *^, le coefficient du second terme s'évam

nouit, et l'équation prend la forme

Il était aisé de prévoir ce résultat. La relation y =a? — fc signifie que les racines de la nouvelle équation sont égales respectivement aux racines de l'équation proposée diminuées de la quantité constante k; la somme des racines de la seconde équation est égale à la somme des racines de la première, c'est-à-dire à — Aj, moins twfc; si donc on fait

ft = ^, cette somme est nulle, et par conséquent le

coefficient du second terme est nul.

Pour réduire l'équation du troisième degré, on posera

a? = y — -^, et l'on ramènera ainsi l'équation à la forme

plus simple

Par cette transformation, les racines réelles restent réelles, les racines imaginaires restent imaginaires.