ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ

Le coefficient p étant négatif, les premiers membres cte ces inégalités sont des quantités positives. Supposons 9 > o ; rinégalité (1), ayant son second membre négatif, sera toujours satisfaite ; l'inégalité (2) ayant ses deux membres positifs, on peut les élever au carré, et Ton en déduit

>iiy

ou

Supposons maintenant q<o; c'est l'inégalité (2) qui est toujours vérifiée, et l'inégalité (I) conduit à la même inégalité (3). D'ailleurs, l'inégalité (3) ne peut être satisfaite que si le coefficient p est négatif.

Ainsi, pour que Véquation

a?' + po? -j- 5^ = o

ait ses trois racines réelles^ il est nécessaire et il suffit que ses coefficients satisfassent à Vinègalité

Quand le premier membre de cette inégalité est une quantité positive, Téquation n'a qu'une racine réelle^ Quand cette quantité est nulle, l'équation a deux racines égales, comme nous l'avons vu au n** 181.

Exemples.

!• L'équation

266 UVBE VI, CHAP. V,

dans laquelle le coef&cieot du second terme est positif, iVa qu'une racine réelle; cette racine est positive. 2» L'équation

a?» — 6ar -|- 4 = <> a ses trois racines réelles. La transformation en —x n'ayant qu'une variation, une seule racine est négative, les deux autres sont positives.

3* L'équation

n'a qu'une racine réelle. Cette racine est négative.

4' Déterminer les dimensions d'un cylindre circulaire droit, dont on connaît la surface totale et le volume.

Désignons la surface par l^ita* et le volume par-—-;

appelons x le rayon de la base et y la hauteur. On a les deux équations

L'équation (2) admet toujours une racine négative, qui ne convient pas à la question. Pour que le problème soit possible, il faut que l'équation ait une racine positive, et par conséquent ses trois racines réelles; la condition est

Quand cette condition est remplie, l'équation ayant deux racines positives auxquelles correspondent des valeurs pc» sitives de y, le problème admet deux solutions. Quand

^•=«'Vî'

6'=a'\/-, ces deux solutions se confondent en une seule.