ÉQUATIONS DU QUATRIÈME DEGRÉ
Équations du quatrième de^ré.
195. Si Ton fait disparaître le second terme, Téquation du quatrième degré se ramène à la forme
(J) x' + Ax^ + Bx + G — o.
Posons x—-\ l'équation devient
(4) Cy* + By«+Ay«+i=o.
En égalant à zéro la dérivée, on obtient l'équation
4Cy»+5By* + aAy=:o, ou
y(4Cy» + 5By + flA)*=ô,
que l'on peut résoudre. On saura donc reconnaître combien l'équation (2) , et par suite combien l'équation proposée, admet de racines réelles. Soit, par exemple, Téquation
(3) X*— 20?' — aa? + i = o, que Ton ramène à l'équation
(4) y* — ay« — ay* +- * = <>>
en posant a? === ~. La dérivée
ay(ay* — 5y— a)=o a ses trois racines réelles -- - ^ o, + a« Les quantités
substituées dUns le polynôme (il), donnent les signes
On en conclut que l'équation (à) a deux racines réelles et comprises, Tune entre o et 2, l'autre entre â et +^- L'équation proposée admet aussi deux racines réelles et
comprises, Tune entre o et- , l'autre - et -J-Q^*
190. On peut ramener la résolution d'une équation du quatrième degré à celle d'une équation du troisième degré.
Un polynôme du quatrième degré est le produit de quatre facteurs du premier degré (x—a) {x — 6) {x — c) {x^d). Le produit (a? — a) {x - 6) de deux facteurs quelconques du premier degré donne un facteur du second degré x^ + px + q\lG polynôme du quatrième degré admet donc six facteurs du second degré, et par conséquent les coefficients p et g ont six valeurs ; la recherche de ces coefficients dépend donc d'une équation du sixième degré* Mais, si l'on met l'équation proposée sous la forme
(1) aî* + Aa?» + Ba: + C=:o,
on a a + 6 + c + d = o, d'où a + b=—(c+d); les valeurs de p sont égales deux à deux et de signes contraires; l'équation du sixième degré, qui donne l'inconnue p, ne contiendra donc que des puissances paires de p, et par conséquent s'abaissera au troisième degré.
Quand on divise le polynôme a?* + Ax* + Ba?+C par x'^+px+qt on obtient un quotient du second degré x*—px+ (A+p* — g), et un reste du premier degré
ÉQUATIONS TRINÔMES. 269
Ce reste devant être identiquement nul, on a les deux équations
De la première on déduit
cette valeur substituée dans la seconde donne l'équation
(3) p^(A + py — 4Cp« — B* = 0.
Si Ton pose p' = z, cette équation s'abaisse au troisième degré
(A) z(z + Af — 4Gz — B» r= 0.
Lorsque l'équation (1) a ses quatre racines réelles, l'équation (A) a ses trois racines réelles et positives. Lorsque l'équation (1) a deux racines réelles et inégales et deux imaginaires, ou ses quatre racine imaginaires, l'équation (à) a une racine réelle positive et deux imaginaires. Pour résoudre complètement l'équation (1), il suffit de calculer l'une des racines de l'équation (A) ; à cette valeur de jp correspond une valeur de q donnée par l'équation (2); on connaît alors deux facteurs du second degré, le diviseur et le quotient. On résoudra donc les deux équations du second degré
a?* -j- px + g =
x^ — px -|- (A + ;)' — j) = .
Équations trinômes.
197. La méthode dont nous avons fait usage pour trouver le nombre des racines réelles de l'équation du troisième
270 LHRE Vi, CHAP. V.
degré s'applique à Téquation trinôme (i) xr + kx'' + B=o.
Si Ton prend la dérivéei ou obtient l'équation
ou
(2) x''-^{mx'^ + nk) = o.
dont on sait trouver les racines réelles.
On peut aussi l'appliquer à l'équation
(3) «"» + Aa?'^** + Bar-« + C = o,
Car si l'on prend la dérivée, on obtient l'équation mx*^'^ + (m — i)Aar**-' + (m — 3)Ba;"*"' == o, ou
que l'on peut résoudre.
On ramène l'équation
a'^+Aaj'+ftp + CrriO
à la forme précédente, en posant a?= -.
