Étant donnée une suite de m + i quantités

«0^ ^i9 ^%9 ^if «m,

si Ton retranche chacune d'elles de celle qui la suit, on a les différences premières de ces quantités. On est convenu de désigner ces différences par la lettre A. Ainsi Ton représente par Au^la différence u^ — w^^, par Am^ la différence m, — i/^, etc. Les différences premières forment une suite de m quantités

^u^y ^u^, ^u^, , Att«,;

si Ton retranche de même chacune d'elles de celle qui la suit, on aies différences des différences premières, ou les différences secondes des quantités proposées. On les désigne par le symbole AA ou plus simplement A*. Ainsi Ton représente par ii\ la différence Ati^ — Am^, par A*w, la différence Atij — Aw, , etCé

272 " LIVRE vu, CHAP. I.

Les différences secondes forment une suite de m— i

quantités

aX, ^\, AX, ^*W«-î,

dont on peut prendre les différences premières, ce qui donnera les différences troisièmes des quantités proposées ; on désignera ces différences troisièmes par le symbole AA* ou plus simplement A\ En continuant de la même manière, on obtiendra les différences des divers ordres des quantités proposées.

199. Les m + 1 quantités proposées ont m différences premières, et par suite m — i différences secondes,, m — 2 différences troisièmes, et enfin une seule différence de l'ordre m. On ne peut pas aller au delà. Nous disposerons le tableau des différences de la manière suivante :

Aw,

AUj

Am,

Au,

AMj

mettant dans la première colonne verticale les nombres proposés, dansla seconde colonne les différences premières, dans la troisième les différences secondes, et ainsi de suite. On remarque que Tindice de A reste le même dans une même colonne verticale, et l'indice de u dans une même ligne horizontale. Pour former ce tableau, on retranche chaque nombre de celui qui est placé au-dessous de lui^ et on écrit le résultat à droite du premier. Ainsi on obtient Au^ en retranchant u^ de u,, Au^ en retranchant Uj de t*^ , ... ; de

DIFFÉRENGBS.

même A\ en retranchant Ati^ de àu^ , à\ en retranchant AUj de Au,, On a, en général, par définition

si Ton retranche A^ au nombre A u^^^ placé au-dessous de lui, on obtient le nombre A'^^^u^ placé à droite du premier. Soient, par exemple, les six nombres i, lo, 25, 44^ 70, 98. En appliquant la règle précédente, on formera le tableau des différences jusqu'au cinquième ordre ;

On commence par écrire les six nombres proposés dans une colonne verticale. Retranchant chacun d'eux du suivant, on a les différences premières 9, i5, 19, 26, 38, que l'on écrit dans une seconde colonne; retranchant chacun des nombres de cette seconde colonne du suivant, on a les différences secondes 6, 4* 7>2> qne l'on écrit dans une troisième colonne, et ainsi de suite jusqu'à la différence cinquième à laquelle s'an'ète le calcul.