Réciproquement, si l'on donne le premier nombre

u, et ses m différences successives Au,, A*u,, 1 A^u,, on

peut reconstituer le tableau et reproduire les m autres

nombres»,, u,, , u„. En effet, puisque Au, ssu,— w^,

on a tij s w, -{- Att,. De môme, puisque A'Uj = Au, — Au,,

01» a AUj =z: Au^ -f A'i«Q ; connaissant Au^ ^ on obtient Wj =3? Mj 4- Aw, * On a âe la môme manière A*îij = A*m^ + A'tt„ , AWj = AMj + A'Mj , ti^ = Mg + AUj , et ainsi de suite. On remarque que chaque nombre du tableau égale le nombre placé au'-dessus de luî, plus celui qui est à droite de ee dernier; car on a, en général, par définition

d'où l'on dé4uit

le nombre A^u^^^ égale le nombre A^Un placé au-dessus de lui, plus le nombre A^'^^i*,» placé à droite de ce dernier.

On procède par lignes obliques, comme l'indique le tableau précédent; nous avons déjà calculé les trois premières lignes obliques ; on continuera de la même manière : le nombre A^t*^ ajouté à A'w^ donne A'm^ ; celui-ci ajouté à A*Wj donne A'w^; celui-ci ajouté à AWj donne Aw,; enfin, ce dernier ajouté à u^ donne u^. Recommençant à partie de AX , on forn>era successivement les nombres A*Uj , A't*, , A^i ^^4» ^<s ^^ 1^ ^igQ® oblique suiva&te^ et ainsi de suite. En poussant l'opération de proche ea proebe jusqu'à A*"t*o i on arrivera finaiemead à w^.

Soient, par exemple, le nombre i et ses cinq différences successives 9, 6, — 2,5, — i3. On appliquera la règle

pi*écédente et l'on dira: 9 et 1 10; 6 et 9...., i5

et 10 25; — 2 et 6 k et i5 19 et â5..«.. 44;

6 et — 2 3 et 4 7 6t 19 26 et 44**". 70;

— i3et5 — 8 et 3 —5 et 7 2 et 26 28 et

2M. Nous avons vu que, lorsqu'on donne le nombre u^ (Bt ses m dîlférences sueceôsives Aw^^ A'u^, •. ,., A^a^^ on

BlFrÉR£NG£S. • 275

peut, par un caloil de proche en proche, trouver les nombres u^ , ti,, ,11^* Cherchons maintenant une formule

algébrique donnant l'expression d'un terme qudconque Un de la suite en fonction des quantités données. Puisqu'on a par définition Au^ = ti^ — u^, on en déduit

Ona demème w,=Mj4-Au,. Delà relation A\=Aiij— Aw^ on déduit ^u^=^u^ + ^\; si dans l'expression de u, on remplace u^ et Au^ parleurs valeurs, il vient

«1 = («0 + Awo) + (Att<> + AX), ou plus simplement

On a de même

w, = tt, + Aw,.

Nous connaissons u^; on en déduit facilement Ati,. Imaginons en effet que, dans le tableau des différences (n^ 199) , on supprime la première colonne verticale, les différences premières constitueront les nombres proposés, les différences secondes deviendront les différences premières, et ainsi de suite. C'est comme si l'on augmentait d'une unité findice de la lettre A dans chaque terme. Or il est clair que le tableau ainsi modifié jouira des mêmes propriétés que le tableau primitif; nous avons trouvé la relation

nous aurons maintenant

Aw, = AMo + aAX + AX- Si dans la relation w, = w, + Au, on remplace u, et Au,

276 LIVRE Yli, GHÀP. I.

par leurs valeurs, il vient

Le même raisonnement peut être répété indéfiniment.

w^ = W3 + Aw,.

Nous connaissons u^ ; on en déduit facilement Aw,. Si l'on imagine comme précédemment la première colonne verticale supprimée, ce qui revient à augmenter d'une unité l'indice de la lettre A dans chaque terme, la relation

^8 = ^0 + 3AW<^ 4- 3à\ + Ùl\

deviendra

AM3 = A^/, + 3A«Wo + 3A^Wo + A^.

En remplaçant w, et Awj par leurs valeurs, on a

+ AWo+5AX+3A»Wo-f AX

On reconnaît les coefficients du développement de la puissance d'un binôme; l'expression de w, a pour coefficients ceux du carré d'un binôme; l'expression de t*, ceux du cube; Texpression de u^ ceux de la quatrième puissance. Nous ferons voir que cette loi est générale. Pour cela, nous démontrerons que, si elle est vraie pour u^ , elle l'est aussi pour m^^^ , c'est-à-dire que si l'expression de u^ a mêmes coefficients que la n" puissance du binôme, l'expression de u^^^ aura mêmes coefficients que la n + i* puissance. Soit donc (n° 36)

K = v, + Clè^u, + CrAP-^e/, + C>w, + AX.

U = »» + ^«H. on a

»+! = «« + cl

AX-

+cr

Si l'on iraaglne la première colonne verticale supprimée, ce qui revient, comme nous l'avons dit, à augmenter d'une unité l'indice de la lettre A dans chaque terme, cette relation devient

En substituant ces valeurs de u^ et de Aii„ dans la relation

Mais on sait que C\+ i =Ci^i, Cj;+C/=:Ci^j, , et

que, en général, CJ + CJ""* = C^^^; la relation précédente se réduit donc h

On voit que, si la loi est vraie pour w„ , elle l'est aussi pour t#^^j. Comme elle est démontrée pour w, , w, , ti^ , elle l'est pourWjtWg, , et par conséquent pour un terme quelconque.

Ainsi nous avons la formule générale

(a) w^= t«o + Y Aw^ ^^V^^:^ AX+ + AX-

Au moyen de cette formule, on obtient chacun des nombres M^^ , tij , «j ,....., Vm , en donnant à n Tune quelconque

des valeurs©, 1,2, tn. On peut écrire cette formule

sous la forme symbolique

en convenant de développer (i + A)* suivant la loi du binôme, comme si la lettre A désignait une quantité, et de regarder ensuite les exposants comme des indices.

Où donne, par exemple, le nombre u^ et ses cinq diffé*. rences successives

Wo=i, Aw^=9, aX=6, aX=— a, AX = 5, aX= — i3.

Si dans la formule (a) on fait n=49 on a

On obtient ainsi directement le nombre 70 que l'on a trouvé précédemment par un calcul de pf oche en proche.

202. Nous avons vu aussi (n*" 199) que, lorsqu'on donne les m + ï nombres

*09 ^if ^8> **«>

on peut, par un calcul de proche en proche^ trouver les m différences successives du premier de ces nombres, savoir,

Cherchons de taême une formule algébrique donnant l'expression de Tune quelconque de ces différences en fonction des nombres donnés.

On a d'abord

On a aussi par définition

aX = ^^1 — ^^0-

Mais AUj = w, — u^ ; si dans Texpression de ù^u^ on remplace AUq et Au^ par leurs valeurs, il vient

à,\ = (W, — t/i) — (Wi — Wo) = W, — 2Mi -f- «0-

On a de même

Nous coQBaissoDs A'ti/, il est facile d'en déduire àV^.

Imaginons que dans le tableau des différences on supprime la première ligne horizontale, la seconde ligne deviendra la première, la troisième la seconde, etc. ; c'est comme si Ton mettait u^ à la place de u^,u^k la place de u^ , etc. ; en un mot, c'est comme si Ton augmentait d'une unité l'indice de la lettre u dans chaque terme. Il est clair que le tableau ainsi modifié jouira des mêmes propriétés que le tableau primitif. Nous avons trouvé la relation

nous aurons maintenant

Si dans la relation AX = ^*Wi — ^X ^^ remplace A*Wo et A"w, par leurs valeurs. Il vient

Le même raisonnement peut être répété indéfiniment* On a

Nous connaissons à\. Si l'on imagine encore la première ligne horizontale supprimée, ce qui revient à augmenter d'une unité l'indice de la lettre m dans chaque terme, la» relation

AX = ^3 — 5w, + 5^1 — ^0

devient

A'Mj = w^ — 3W3 + 3w, — Wj.

En remplaçant ^\ et A't*, par leurs valeurs, on a

28Ô LIVRE TU, GHAP« I.

— «s + SWa— 5Wl+Wo

On reconnaît encore les coefficients du développement de la puissance du binôme. L'expression de A'u^ a pour coefficients ceux de (a— 6)% l'expression de AX ^^^^ ^® (a — 6)% l'expression de A*t*^, ceux de (a — 6)*. Démontrons que la loi est générale : admettons-la pour ùru^ et soit

A'*Wo = «n— Clttn-i q=crV

'tt-p^-l ■

.. . db tt^>.

Si l'on imagine la première ligne horizontale supprimée, ce qui revient, comme nous l'avons dit, à augmenter d'une unité tous les indices de la lettre u, cette relation devient

Dans la relation ÙJ'^\ = A**Uj — A*»u^ remplaçons Ani^, et A*Hi^ par leurs valeurs, nous aurons

t^^-^\ = nn^r

K + Cn

ou, en simplifiant,

A"^X=«nH— Cln^n + C'^.iw'»-» ihCjW^^,^ ±w,.

On voit par là que, si la loi est vraie pour A^^ti^ , elle l'est aussi pour A"^*ti^. Comme elle a été démontrée pour

A"w^ , iL\ , A*M^ , elle est vraie pour A'w^ , ^\ , , et par

conséquent pour une différence d'ordre quelconque. On a donc la formule générale

=tt<«

Au moyen de cette formule on obtiendra chacune des m différences successives de u^, en donnant à n Tune quelconque des valeurs 1,2, m. On peut écrire cette formule sous la forme symbolique à^'u^ = {u — 1)*, en rem* plaçant dans le développement les exposants par des indices et le dernier terme 1 ou u^ par u^.

On donne, par exemple, les six nombres 1, 10, 25, 44t 70 et 98. Si l'on fait 11 = 4 dans la formule (P), on aura directement la différence

obtenue précédemment par une valeur de proche en proche.

Différences d'une fonction.

203. Soit u = f{x) une fonction quelconque de la variable x; si Ton donne à la variable m + i valeurs

^0> *^i9 ^8* ••••• •^mï

la fonction prendra une suite de valeurs correspondantes Wo> ^l> Wj, u^,

dont nous pourrons prendre les différences des divers ordres, comme nous Tavons expliqué précédemment. Ordinairement les valeurs données à la variable forment une progression arithmétique dont on appelle h la raison. Supposons que X représente l'un quelconque des termes de la progression, x + h étant le terme suivant; les valeurs correspondantes f(x) et f{x -f- ft) de la fonction auront pour différence première f{x + h) — f{x) ; c'est une nouvelle fonction de x que Ton nomme différence première de la fonction proposée et que Ton désigne par lif{x) . Si dans cette

fonction ^f(x) on remplace successivement x par chacun des termes de la progression, on obtiendra les m différences premières que fournissent les- m-f- 1 valeurs de la fonction*

De même, si Ton donne à x deux valeurs consécutives X etx + hy les valeurs correspondantes de la fonction \f{x) auront une différence ^f(x + ft) — A/(a?) ; c'est une nouvelle fonction de x que Ton nomme différence secmde de la fonction proposée et que l'on désigne par A*/(.t). Et ainsi de suite.

Prenons comme exemple la fonction

nous aurons

Aw = a*"*-^ — 0" = a'ia^ — i) .

Ainsi on forme la différence première de la fonction a' en multipliant cette fonction par la quantité constante a^— i. On aura de même

Considérons encore la fonction

» 5=3 aî(a? + A) (a? 4" 2 A) [a? -|- (n -^ i )fc] ;

nous aurons

Aw= (a? + k) [x -|- ah) [x 4- nh)

= nh{x + h){x + ah) [x + (n -r i)A].

La fonction proposée est du degré n; pour former la dît

férence Ati, on a multiplié par le nombre des facteurs et par U raison h et Ton a supprimé le premier facteur. En appliquant la môme règle, on écrira de suite

A**w = n(n— i)[n — 2) 5.2. lA^

On trouve de la même manière

A sin 5? = 2 sin - cos (

A cos ar = — 2 sm - sm |

et par suite

A' sin a? = — 2* sin* - sin {x + h),

A* cos a? = — 2* sin* - cos (x + h),

A' sin a? = — 2* sin' - cos

A' cos ar=: 2' sin' -sin

A* sin a? = 2* sin* - sîn (x + 2A),

A* cos X = 2* sin* - cos (ar -f 2A),

Différences d'une fonction entière.

204* Considérons en particulier la fonction entière du degré m. On a, en développant d'après la loi connue,

t^=h^fxœ)+nx)±+r\x)^+ ].

On voit que la différence première est un polynôme entier en X du degré m — i , et qu'elle contient en facteur la raison h de la progression arithmétique. Si Ton représente cette différence première par hf^{x)^ on a de même

A»« = AE/.Ca; + A) - f,{x)] = h [/{(xî* :(x) il + ....] ,

La différence seconde du polynôme proposé est un poly* nôme entier en x du degré m— 2, et contient ft* en facteur. Si on représente cette différence par ftY,(ic), on a de même

La différence troisième est du degré m — 3 par rapport à x et contient h* en facteur, et ainsi de suite. En général la différence d'ordre n est du degré m — n par rapport à a: et contient ft^en facteur. Enfin la différence d'ordre m sera du degré zéro par rapport hx; ce sera donc une constante, et par conséquent les différences d'un ordre plus élevé seront nulles. Ainsi une fonction entière du degré m admet m différences successives.

Soit ' « = A,,2?* + A,T'»-*-f- ^A^^,x + A^

la fonction entière proposée, ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de x. Cette fonction étant la somme des termes qui la composent, sa difiërence d'un ordre quelconque est égale à la somme des diiférences du même ordre de ses différents termes. Il en résulte que la différence première ne dépendra pas du terme constant A^, puisque la différence de ce terme est nulle ; la différence seconde ne dépendra pas des deux derniers termes A,»i X + Am, puisque la différence seconde de cette partie est nulle ; en général, la différence d'ordre n ne dépendra que des termes dont le degré est égal ou supérieur à n; enfin la différence d'ordre m ne dépendra que du premier terme A^a;»». Nous nous proposons de calculer cette différence d'ordre m.

Dans le polynôme ^^x) , la partie du degré le plus élevé est/*'(x); son premier terme est iwA^^x**-*. Dans le polynôme /f(^)» '* partie du degré le plus élevé est//(x) ; le premier terme de f^{x) étant wA^a?"*"*, le premier terme de f[{x^ ou de i^ipc) est m(m7-i)A^ja?**"*. De même le premier terme de f[{x) ou de \^{x) est m{:m — i) (w— 2)A^jX*"-% et ainsi de suite. En continuant la même loi, on a enfin

U{x)=m[m — \) 3.a.tAo,

et par suite

A*^M:i= i.a.5 mAoA*\

Nous avons dit que les différences successives Au, A'u, A'u, .•., A*"!* contiennent en facteurs ft, fc%ft% .•., ft"*. H en résulte que lorsque la raison A de la progression arithmétique est très-petite, les différences de la fonction sont elles-mêmes très-petites. Les différences premières sont des quantités petites du premier ordre; les différences secondes des quantités petites du second ordre, etc.

Exemples.

1** Former les carrés des nombres entiers. Considérons la fonction u = a?*, et supposons que Ton donne à x les valeurs o, i, 2, 3, ....... en progression arithmétique. La

fonction étant dû second degré, la différence seconde A*tt est constante et égale à 1.2. h*, c'est-à-dire à 2, puisque la raison h est l'unité; les différences d'un ordre plus élevé sont nulles. Pour commencer le tableau, il suffit d'écrire les deux premiers carrés et 1 avec leur différence première i et la différence seconde 2 trouvée directement.

On répétera la différence seconde constante 2 dans la troisième colonne autant que l'on voudra, et Ton dira, en calculant par lignes obliques, d'après la règle établie au n* 200: 2 et i..,3 et i../4; 2 et 5.. .5 et 4.. .9; 2 et 5.. .7 et 9. ..l'a; on continuant de cette manière on formera les carrés de& nombres entiers consécutifs,

2* Former les cubes des nombres entiers. Considérons la fonction « = aj' et donnons encore à a? les valeurs succès^ siveso, 1,2, 5... en progression arithmétique. La fonction étant du troisième degré, la différence troi^ème sera cen-

siante et égale à i.^.Zh^ ou 6. Pour comcneucer le tableau BOUS éerkona les trois preuûers cubes o, 1,8, d'où nous déduirons lès différeoces premières 1 et 7, et la différence seconde 6 ; mettant ensuite à la droite la différence troisième consfante 6 trouvée directement, on pourra effectuer le calcul des lignes obliques et obtenir les cubes de^ nombres entiers consécutifs.

3<» Trouver la somme des carrés des n premiers nombres. Considérons la suite des quantités

les différences premières sont les carrés consécutifs 1', 2%

5', ; il résulte de ce qui a été dit précédemment que

les différences secondes des différences premières, ou les différences troisièmes des nombres proposés, sont constantes et égales à 2 ; et par suite que les différences d'un ordre plus élevé sont nulles. Écrivons le commencement du tableau avec les trois premiers nombres ii^ , Wj , Uj ;

Att, = 1

^hl^z= 2.

Servons-nous maintenant de la formule (a) démontrée

au û» 201, formule qui exprime un terme quelconque u^ de la suite des nombres proposés au moyen du premier d'entre eux et de ses différences successives; ici les différences d'un ordre supérieur au troisième sont nulles ; le développement se réduira donc à ses quatre premiers termes, et Foiï aura

«^n==Wo + WAw^,4-

et, en remplaçant les différences par leurs valeurs,

' 1.2 ' 1.2.3 6 à* Trouver la somme des cubes des n premiers nombres. Considérons la suite des quantités w*=o', u, = o'+i% Uj=o'*+i'+2',ti3=o' + i'+2'+3% .....; les différences premières sont les cubes consécutifs 1', 2', 3', , les différences troisièmes de ces différences premières, ou les différences quatrièmes des quantités proposées, sont constantes et égales à 6 ; les différences d'un ordre plus élevé sont nulles. On écrira le commencement du tableau avec les quatre premiers nombres

Wo = o^ Am^= 1 A*w^= 7 A*w^=i2 A*Wo=6.

Les différences d'un ordre supérieur au quatrième étant nulles, la formule se réduit à ses cinq premiers termes, et Ton a

AMj= 1

AX=ia

Ak,= 8

:1)as,

A'tfo

OIFFÊREMGES. 280

et, en remplaçaot les différences par leurs valears,

n^= n -I \- an(n— i)(n— a) H 7

On retrouve ainsi les formules déjà obtenues par d'autres moyens (n" 41 et 47) . Cette méthode permet de trouver avec la même facilité la somme des puissances quatrièmes, ou des puissances cinquièmes, ...^.9 des nombres entiers consécutifs.

Calcul des valeurs d'une fonction entière quand on donne à la variable des valeurs en progression arithmétique.