Gonirîdérons d'abord un polynôme du troisième degré

ti = ar^ -|- 3a?* — i7J? + 5.

Nous nous proposons de calculer les valeurs que prend ce polynôme pour les valeurs entières

positives ou négatives, données à la variable x. En substituant directement les trois nombres simples — i, o, + i, on obtient les trois résultats 24, 5, et — 8. Avec ces trois valeurs, on forme deux différences premières — i g et — 1 3, et une différence seconde 6. La fonction étant entière et du troisième degré, on sait que la différence troisième est constante et égale à i.a. S. A^^fc% c'est-à-dire à 6 dans l'exemple actuel; les différences d'ordre supérieur sont nulles. On peut donc prolonger le tableau indéfiniment par lignes obliques d'après la règle du n** 200, et obtenir les

&M LIVRE VU, GHAP. h

La prettùère colonue verticale contient les vateara de la variable x, la seconde les valeurs correspondantes de la fonction, et les suivantes les différences, comme à Fordinaire. La dernière colonne contient la différence troisième constante 6 que Ton répète indéfiniment. On calcule en

disant : 6 et 6 12 et — 13 — 1 et — 8,...« —9,

valeur de la tonction pour x==2. Recommençant alors une

nouvelle ligne oblique, on dit : 6 et 12 i8et — 1 17

et —9 8, valeur du polynôme pour 0?= 3, etc.

On peut aussi prolonger le tableau vers le haut et trouver les valeurs de la fonction pour a? ==5— 2, aî==— 5, etc. On remarque, en effet, que tout nombre du tableau est égal au nombre placé au-dessous de Jui^ moins celui qui est à ifoii$ du premier; car, de la relation générale

iHv déduU

le nombre ^»u^ égale le nombre A«*w«+i placé au-dessous de kii, moins le nombre A^*ifn qm est à sa droite.

valeurs du polynâiM pwr â^s:»,

iP=5, ete. Voici la du- |

position du tableau :

lao

On procédera donc de la manière suivante :

— la

La ligne horizontale inférieure contient la valeur de la fonction et ses différences successives pour a? =— 1, valeurs trouvées piécédemment, et Ton a répété la différence troisième constante 6. Si de la différence seconde 6 on retranche la différence troisième 6, on a la différence seconde qui correspond 4 x= — a ; si de la différence première — 19 on retranche la différence seconde o, on a la différence première — 1 9 qui correspond kx= — 2 ; enfin, si du nombre 24 on retranche cette différence première — 1 g, on obtient la valeur 43 du polynôme pour a?= — 2. On a formé de la sorte la seconde ligne horizontale au moyen de la première. De la seconde on déduira de même la troisième; on dira : o moins 6 donne — &;^ -* 19 moins

— 6 — ï3; 45 moins — 13 56; telle est la valeur du

polynôme pour 0? = — 3. Continuons encore : — 6 moins

6 — 12; — 13 moins — la.,... — i-, 56 moins— -1

57, valeur du polynôme pour a?= ^—4> et ainsi de suite. Le calcul se fait ici par lignes horizontales successives. Ordinairement ces deux tableaux sont réunis quand la place le permet, et constituent un seul et même tableau que Ton

202 IIYRS nh GHAP. I.

peut prolonger à volonté vers le bas par additions successives, vers le haut par soustractions.