Exemple III. Soit Téquation

f[x) =x^ — aa?* +, 5«^ — 7 =^ o.

La substitution des nombres entiers ne donne qu'un changement de signe, de 1 à a. L'équaiion

ayant ses racines imaginaires, réquation proposée n'a qu'une racine r^eUe, et elle est comprise eatre 1 et a. Exemple IV. L'équation

f[x) = x' -^ 4"^^ + 5jî — 7 =

n*a pas de racine négative ^ la substitution des nombres entiers positifs ne donne qu'un changement de signe, de 3 à 4» L'équation

f (a?) = 5a:» — 8ir -f- 5 =

a ses racines réelles 1 et -=. Si l'équation proposée avait ses o

trois racines réelles, la plus petite racine 1 de la dérivée

devrait donner un résultat positif, la plus grande -= un

résultat négatif; la valeur du polynôme pourx=i étant

négative, on en conclut que l'équation proposée n'a qu'une

raQine réelle, et cette racine est comprise entre 3 et 4.

Exemple Y. La substitution des nombres entiers dans le

premier membre de l'équation

/"(x) =0 ayanUses deux racines, ^':

RAGIHES ]NGOMM£NS0RAfiL£S. 317

ne donue qu'un changeaient de signe de i à 2. L'équation

- 4 ''^— 4""' réelles et comprises entre o et 1. Si Véquation proposée avait ses trois racines réelles, deux racines seraient comprises entre o et 1. Mais on peut écrire

Le polynôme du second degré 4^* — 3^ + 1 ayant ses racines imaginaires, est toujours positif; on voit donc que, quand x varie de o à 1 , le polynôme proposé reste constamment négatif. Ce polynôme n'admet donc qu'une racine réelle, et cette racine est comprise entre 1 et 3 .