ExEUBLE VL Considérons encore l'équation

f[x) = ar* + I la?* — 102a; + i8i = o.

Substituons d'abord les nombres entiers :

L'équation transformée en — x n'ayant qu'une variation, l'équation proposée a une racine négative et une seule; en prolongeant le tableau vers le haut, on verrait qu'elle est comprise entre — 17 et — 18. Les deux autres racines seront réelles et positives, ou imaginaires. Les npmbres entiers positifs donnent tous des résultats positifs ; car, dès a;=9, on n'a que des nombres positifs à ajouter. Ainsi les

aa

318 LIVRE Vil, CHAP. Iir.

deux racines positives, si elles existent, seront comprises dans le même intervalle. Pour reconnaître cet intervalle , on examinera les racines de l'équation

fi^x) = 3j?* + 22a? — 102 = o ,

qui sont réelles, Tune positive, l'autre négative* La racine

positive (t =

— ii + v/4i7

5,22.». devant être com-

prise entre les deux racines positives de V équation proposée, on en conclut quoi^ si féquation proposée admet des racines positives, elles seront comprises entre 5- et 4* PaJ^tageons cet intervalle en dix parties égales :

o>3ai

Il est inutile de prolonger le tableau; car, arrivé à 3,2, on n'a que des nombres positifs à ajouter; ainsi il n'y a pas de changement de signe, et les deux racines sont encore renfermées dans le même intervalle. D'après la valeur de x' cet intervalle est celui de 3,i à 3,3; nous le partageons en dix parties égales :

— o,ooi352

Il existe effectivement deux racines réelles et positives, Tune comprise entre 3,21 et 5,22, l'autre entre 5,22 et 3,23.

RACtBlËS INGOMJMEJNSURABLES. 31 9

Êqualiom d'un degré quelconque.

222* La Ddétlïode dont nous avons fait usage pour séparer les racines d'une équation du troisième degré et les calculer avec une approxiaiation aussi grande qu'on veut, s'applique aux équations d'un degré quelconque. Après avoir isubstitué les nombres entiers, on partagera en dix parties égales les intervalles qui peuvent comprendre des racines, puis en dix parties égales les nouveaux intervalles, et ainsi de suite.

Établissons d'abord les formules générales au moyen desquelles on peut des anciennes différences déduire les nouvelles. Soient ft et h* les racines des deux progressions

arithmétiques, fc leur rapport — ; nousdé&îgneronspar A les

différences qui se rapportent à la première raison ft, par S celles qui se rapportent à la nouvelle raison ft'. La fonction entière du degré m peut être considérée comme déterminée, soit par les valeurs qui correspondent à m + 1 termes

x^y x^+ A, x^ + aA, , x^-^-mh.

de la première progression, soit par celf^ qui correspondent k m + \ termes

^of ^a + A'» ^o + ^'r > x^ + mh'

de la seconde; elle sera donc représentée par l'une ou l'autre des deux formules

Si Ton pose pour abréger — r— ^ = 5 , d'où — -n-^ = i » ces deux formules deviennent

(I) W= Wo+ 2AW, + 2(Z^ 07-^+

Ces deux expressions représentant le même polynôme, si on les ordonne par rapport aux puissances de la variable z, les coefficients des mêmes puissances de z doivent être égaux de part et d'autres ; en égalant ces coefficients, on obtiendra des relations entre les anciennes différences et les nouvelles, qui permettront de calculer ces dernières au moyen des premières.

223, Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'une équation du quatrième degré; les formules (i) et (2) se réduisent à

M === tt, + zAw, + z(a — 1) --^ + 2(2 -- i)(z — a) — î^

BAGINES INGOMMENSUBABLES.

L'identification donne les relations

8«S»-f-~8*=A;»/'A« — A« + — aA,

Ces équations sont du premier degré; la première donnera 8*, la seconde 8*, la troisième 8S la quatrième 8.

22â. Exemple VU. Considérons l'équation du quatrième degré (n» 206)

Le tableau de substitution des nombres entiers

— aC

— ii3

ia6

montre que l'équation a deux racines^positiyes : une entre

asâ LivftË^H, tiHAt>. m.

1 et 2, une autre eutrfe 5 et 6; comme elle ne présente que deux variations, elle n'a pas d'autre racine positive.

Pour obtedir ces deux racines à naoins d'Un dixième, nous partagerons chacun des deux intervalles en dix parties égales, et nous calculerons les nôUVèlles différences au moyen des formules précédentes

Q,4oi6

La première racine est comprise entre 1,4 et i^â^

La seconde étant plus près de 6 que de 5^ nous effectuerons le calcul en remontant.

Il52

Oette sedonde racine est comprise entre 5,7 et 5,8.

L'èquatiotl proposée a d'ailleurs deux racines négatives : une comprise entre et — i, ratitre entre — 1 et — 2, On les calculerait de la même manière.