Exemple VIIL Soit l'équation
La transformée en *-^îi*afant pas de variation, Téqua-
RACmp II^GOMiVmKSUBAB^ES. 323
tioQ n'ft pas d^ racip§ négative; elle pçut avoir o ou 2, ou 4 racines positives, La substitatiop des nombres entiers positifs
ne présente pas de variation. L'équation
f\x) p? gaa?' — » 1 205?* + * 14^ "- 40 = Q n'a qu'une racine réelle, et elle est comprise entre 2 et 3. On en conclut que Téquation proposée ne poui:;ra avoir au plus que deux racines réelles positives; si elles existent, elles seront comprises entre 2 et 3. On partagera donc cet intervalle entre dix partie.8 égales.
fi»
-6,2 i§a ■^9,a6oo ^7j»39a
-3,485(1 .3,i5Qa »e,^2^ ^1,9420
rt^Q30i
5,1 lOQ
yOOQ
32A LITRE VII, GHAP. IIL
Ainsi Téquation a deux racines réelles positives, et comprises, Tune entre 2,1 et 2,2, Tautre entre 2,8 et 2,9.
226, Exemple IX. Soit T équation A Tinspection du tableau des différences
— la
on voit que l'équation admet deux racines positives, et comprises, l'une entre 1 et 2, l'autre entre 3 et 4; elle n'admet pas d'autres racines positives, puisque son premier membre ne présente que deux variations. La transformée en — X présentant deux variations, l'équation peut avoir deux racines négatives ; mais comme — 1 est une linjite inférieure des racines réelles, les racines négatives devraient être comprises entre et —1 5 or, dans cet intervalle, les deux premiers termes étant positifs, ainsi que la partie ic+4, le polynôme reste constamment positif; l'équation n'admet donc pas de racines négatives,
227. Exemple X. Considérons comme dernier exemple l'équation du cinquième degré
x^ — Sa:' -f a' — Sx— 10 == o.
RACmES INGOMMENSUBABLES.
Le tableau des différences
— lO
montre que Téquation a deux racines négatives et comprises, Tune entre o et —1, l'autre entre —-2 et — 5; la transfor* mée en — a? ne présentant que deux variations, l'équation n'a pas d'autre racine négative. Quant aux racines positives, il y en a une entre 2 et 3 ; comme le premier membre de l'équation présente trois variations, il peut y avoir deux autres racines positives. D'après le tableau des différences, 3 + 4 ou 7 est une limite supérieure; mais si nous groupons les termes de cette manière
(x* — ix^ — 8;zr— io)4-^' = o,
nous trouvons une limite supérieure 3 beaucoup moins élevée. En mettant l'équation sous la forme
.— ar»{4 — a?*)— a?(8
•û?*) — io=p,
nous voyons que le premier membre reste constamment négatif, quand x varie de à 2. Il est donc à* examiner si l'équation peut avoir trois racines entre 2 et 5. Si Ton écrit la dérivée
èâ6 tivhE m, CMAP, lîi.
sous là forme
(5a;* *— gx* ~ 8) + M?,
on voit que s est une limite supérieure des racines de cette dérivée. Ainsi l'équation proposée n'admet qu'une racine positive,
228, Dans les exemples précédents, nous avons réussi à séparer les racines en substituant des valeurs équidistantes et nous aidant de la considération de la dérivée. Nous supposons que l'on s'est assuré d'avance que le polyliôme proposé et sa dérivée n* admettent pas de racines égales. On arrivera toujours avec certitude à la séparation d^ racines Bi Vou poussa a«sei loin les «ubdiviflioo8« Poor 1^ faire voir, nous nous «erviroas de la formule
que Ton déduit de la formule générale (5) démontrée au fi"" 137^ en s'arrëtant aux deux premiers termes»
De quelque mapière que «oient distribuées les racines réelles du polynôme f{x) et celles de sa dérivée /"(a^» nous pouvons imaginer des intervalles
tels que chacun d'eux ne comprenne aucune racine du polynôme proposé, ou bien en comprenne une sans en comprendre aucune de la dérivée. Considérons d'abord un intervalle ne comprenant aucune racine du polynôme proposé, par (exemple l'intervalle de a:' à a?". Appelons m une quantité positive inférieure à la plus petite valeur absolue du polynôme ^(ic) , quand x varie de x* à aT, et M' une quantité supérieure à la plus grande valeur absolue de la dérivée f{x) dans le même intervalle. Subdivisons Tinter-
vâlle oé^—x^ en parties égales à A, et plus petites que ^,
Déftignonf par a^ et ^o+A deax terme» consécutifs d^ ia progf^auiioa mtbmétiquef et posonsa;s:a;o+o^; on ^
• A^) = fi^, + 4= /I^o) + «A^o + Q«)-
Qnftfid j» varie de x^kx^+h^ a varie de 6 à ft ; le seeond terme «^'(a?o4"^<^) ^^^ plus petit que AM' ou que m» et par suite plu« petit que f[x^^ en valeur absolue. Ainsi, dans ctaaoun des intervalles partiels, le premier terme f{x>i est plus grand que le second en valeur absolue.
Réciproquement, si la valeur absolue de f{x^ est plus grande que la plus grande valeur absolue de hf\x)^ quand « varie de x^kx^^ fc, il est clair que de â?^ à a?^ + ft le polynôme f{x) conservera le signe de son premier terme /(a?^), et que par conséquent il n'y aura aucune racine dans cet in* tervalle,
'Considérons, maintenant un intervalle comprenant une
racine du polynôme, et une seule, et de plus ne eompre-
fMmt aueune racine de la dérivée, par exemple Tintervalie
éeaf kaf". On appliquera à la dérivée ce que nous avons
dit du polynôme proposé. Appelons m' une quantité positive
inférieure à la plus petite valeur absolue de la dérivée ^' {x) ,
quand x varie de xf' à x"\ et M" une quantité supérieure à la
plus grande valeur absolue de la seconde dérivée f"{x)
dans le même intervalle. Subdivisons l'intervalle a^" — aî"
m' 0u parties égate» à A et fhs prîtes que irp. Soient iU)u*^
jours Xq et 37^ + li deux termes consécutifs de la progression arithmétique, et posons a;=a*o + a, on a
Quand x varie de x^b, x^-^h^a varie de o à ft; le second terme ^fix^ + ^cf) est plus petit que hU" ou que m', et par suite plus petit que fXx^) en valeur absolue. Ainsi, dans chacun des intervalles partiels, le premier terme fix^) est plus grand que le second en valeur absolue.
Réciproquement, si la valeur absolue de f{x^) est plus grande que la plus grande valeur de hfXx)^ quand a? varie de x^ à aî^j+.ft, la dérivée f{x) n'a aucune racine dans cet intervalle. Si les deux quantités f[x^^ A^o + '^) ^^^ ^^ même signe, le polynôme proposé f{x) n'admet aucune racine entre x^ et x^-^h; si ces deux quantités ont des signes contraires, le polynôme admet une racine, et une seule.
On conclut de ce qui précède que Ton arrivera à une progression arithmétique ayant Une raison h assez petite pour que, dans chaque intervalle partiel, f{x^ soit plus grand que hf[x)^ ou f{x^ plus grand queft/'"(ir) en valeur absolue. Les intervalles qui présentent le premier caractère ne comprennent aucune racine du polynôme proposé. Les intervalles qui présentent le second caractère comprennent zéro ou une racine, suivant que f{x^ et/(a?^ + A) oi^t te même signe ou des signes contraires. De cette manière, les racines du polynôme proposé seront certainement séparées.
229. On procédera donc de la manière suivante : après avoir substitué des nombres équidistants (par exemple les nombres entiers consécutifs) , depuis la limite inférieure à la limite supérieure des racines réelles, on examinera séparément chacun des intervalles. Considérons un intervalle présentant un changement de signe ; si l'on reconnaît que la valeur absolue de f'[x^ est plus grande que celle de
RACINES INGOMMEUSUBABLES. 329
hf"{x)y quand x varie de x^^kx^^ + h, on en conclura que l'intervalle ne comprend qu'une racine. Si cette condition n'est pas remplie, ou du moins si Ton ne peut pas reconnaître qu'elle est remplie > il faudra subdiviser l'intervalle en dix parties égales. Considérons maintenant un intervalle qui ne présente pas de changement de signe ; si Ton reconnaît que la valeur absolue de [{x^) est plus grande que celle de hf'{x), on en conclura qu'il n'y a aucune racine dans l'intervalle; ce caractère échappant, on examinera si la valeur absolue de f'{x^) est plus grande que celle de hf{x)^ ce qui permettra encore de conclure qu'il n'y a aucune racine dans l'intervalle. Quand aucun de ces deux caractères ne se manifestera, ou du moins quand on ne pourra en reconnaître aucun, il faudra subdiviser l'intervalle en dix parties égales.
Pour appliquer la méthode précédente, il faut savoir trouver un nombre égal ou supérieur à la plus grande valeur absolue du polynôme f{x) ovLf{x)^ quand x varie de x^ à a?o + ^« Ceci n'offre aucune difficulté dans la pratique; au reste, voici un moyen qui réussit toujours : que l'on prenne tous les termes positivement, et que l'on remplace a? par le plus grand des deux nombres x^ eix^ + h en valeur absolue, on obtiendra une quantité positive plus grande que la valeur absolue du polynôme dans l'intervalle considéré.
Les remarques précédentes, qui permettent d'opérer avec certitude la séparation des racines par des substitutions dans le polynôme proposé et sa dérivée, m'ont été communiquées par M. Bouquet,
980 UY«£ vu 4 cnuf. iv.
CHAPlTfiE IV.
MÉTHODES d'approximation.
Mithode pat interpolation,
280. Quand on a obtenu une racirfé d'une équation avee tin certain degré d' approximation, par exemple à un dixième ou à un centième près, on peut en déduire aisément une iraleur beaucoup plus approchée. La naéthode la plus dîmple est celle d'interpolation. Soit u=f{x) le premier membre de l'équation ; on a trouvé deux valeurs x^ ei x^-^-h qui comprennent une racine et une seule. Reprenons la fofibule (n* 213)
jj z{i — z)
Nous cherchons la valeur de xonà^ z qui annule la fgaïQ'o ^n ; nous aiuons donc pour détern2ii»<eF p r<^iiatiail
que Ton résoudra par approximations successives. En effet, la raison h étant très-petite, les différences successives diminuent très-rapidement; si l'on néglige les différences d'un ordre supérieur au premier, on a Téquatiou du premier degré
d'où l'on déduit la valeur approchée
Lu
MÉTHODES d'aPHIOXIMATION. S81
On peut mettre l'équation (1) sous la forme
L'erreur commise quand on prend pour z la valeur
approchée — -t-^ est exprimée par la parenthèse ; pour se
rendre compte de Terreur, on évaluera rapidement et par excès cette parenthèse.
Si Ton voulait une approximation plus grande, on remplacerait dans la parenthèse z par la première valeur appro-
u chée — T-j-*, ce qui donnerait une eecotide valeur plus
approchée tjût la précédente, et ainsi de suite.
231. Quand il s!agit d'une équation du troisième degré. Terreur commise e a pour expression
i.a AWq 1.2.3 AWq*
Si les deux difTérences ^\ et A'm^ ont le même signe, les deux termes ayant des sîgnçs contraires, on négligera le second terme, qui est en général beaucoup plus petit que le preiniiet-, et on dira que f erreur, en valeur absolue, est inoindre-
qjae ~. — - -r— 5. Le produit 2(1 — z) ayant sa valeur maximum pour z=—, est plus petit que-, ce qui donne
pour limite supérieure de Terreur- -j— ^.
Si les deux différences H^u, et A^l*^ ont des signes contraires, les deux termes ayant le ifiéme signe et le facteur 2 — z étant plus petit que «^ T^erreur en valeur absolue
est moindre que
AWo\ 2 3 /•
4^Wo
Pour une équation du degré m, Terreur est moindre que la somme des valeurs absolues des termes de l'expression
4Aw,V a "^ 3
Considérons Téquation du troisième degré,
dont nous avons calculé la plus petite racine positive à un millième près (n^ 218). Supposons d'abord que nous n'ayons pas été plus loin que les dixièmes par les différences^ la racine est comprise entre o,3 et 0,4.
Nous avons la correction approchée
L'erreur est négative et moindre en valeur absolue que
Ainsi la valeur de z est comprise entre o^iSi et 0,1 36. Comme nous avons pris dans le calcul de z le dixième pour unité, la correction sera 0,01 3, et Ton aura la première racine 6,313 avec trois chiffres décimaux exacts, par défaut.
Nous avons poussé le calcul de cette première racine jusqu'aux millièmes par les différences. La formule de correction approchée donne
MÉTHODES d'approximation. 833
L'erreur est négative et moindre en valeur absolue que
On prendra donc « = 0,2409, ce qui donne la racine 0,3 132409 avec sept décimales exactes, par défaut.
