RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES
entre 3 et 4* sifin d'avoir une indication du chiffre des dixièmes. On a
Essayons 5,5.
X = 3,5, loga: = 0^54406804^ f(x) = — 0^09576186^ X = 3;6, logâ? = o,5563oa5o^ f(x) = + O;00268goo.
La racine est comprise entre 3,5 et 3,6 et trës-rapprocbée de ce dernier nombre.
En appliquant la méthode de Newton et partant de la limite supérieure, on a la correction
L'erreur commise est moindre que
La valeur a est donc comprise entre — 0,0027145 et *-o. 0027152; on prendra a= — 0,002715 et l'on aura la racine a; = 3,597285 avec six décimales exactes.
2A2. Exemple IIL Soit l'équation
/(j?) = a? -7 cosoî = o,
traitée aussi par Euler. On a
f[x) =2 1 + sin Xy f'\x) = cos a;.
Pour a?=o, on z,f(x) = — 1 ; pour rc = — , on a f{x)~ + -. L'équation admet une racine dans cet intervalle, et elle n'en
9k& WVilE >«, CHAP. Y,
ndmet qu'une, puisque la dôiivée m s'âuâule pae. Au dalà
de -, a? étant plus grand que i , il n'y a plus de racine.
Il n'y a pas non plus de racine négative. Ainsi l'équation proposée n'admet qu'une racine réelle, et elle est compris^ entre o et i .
Pour faire les substitutions, noua bous servirons de la partie des tables de Callet qui donne les sinus naturels suivant la nouvelle division de la circonférence et de la partie qui donne les longueurs mêmes de ces arcs. L'arc égal à i vaut à peu près 64 degrés modernes. En suivant de l'œil les deux tables, on yoit que le changement de si^e ^ lieu de /^^ ^ 48'. .
â? = 47° =: Qjf38j cosx s= o,74o> f{^) =«p= — o,ooa, a: == 48° = 0,754, cosa? = 0,729, f{x) = -|- 0,026.
La racine est comprise entre 47* et 48' et très-râpprochêe du premier de ces nombres.. L'interpolation par parties
proportionnelles donne z = — ^ < o^u Ainsi il est probable
que la racine est comprise entre 47"* et 47% »• Voici le nouveau calcul de substitution :
a; = 47** = 0,73827 427 cosa?= 0,73963109
X = 47**, 1 = 0,73984 507 cosaîœ 0,75357 3oa
flxl^s^i-^o^ooiay ao5
La racine est comprise entre 47"* et 47°»i»
La méthode de Newton donne la correction
Si l'on retranche cette valeur de a de la longueur de l*arc
de 47%ii on a une vâdeur t|op gri^ude a)739Q8&a7«à..«
• RÉSOLUTION DES iQD AXIONS TRANSCENDANTES. 347
L'err«ar commise est moindre que
o,oooS*Xo,74 ^ ^
En retranchant cette correction de la valeur précédente, où a une valeur trop petite 0,75908512.,... On a aiosi la racine a?=o, 7390862 avec sept décimales exactes.
2i3. Exemple IV. Soit Téquation
f[x) = a; — ? tanga? = q«
On voit d'abord que les racines de l'équation sont deux à deux égales et de signes contraires. Quand x varie de à
- , l'arc étant plus petit que la tangente, la fonction est néga-
tive ; de - ait, la tangente étant^négative,la fonction est poflitive ; ainsi il n'y a pas de racine de à tc. Quand ay varie de Tc à —, la fonction passe d'une valeur positive à une valeur négative ; il y a donc une racine réelle dans cet intervalle, et il n'y en a qu'une, puisque la dérivée ne s'annule
pas; de — à 27;, la tangente étant négative, la fonction
reste positive. Si Ton continue à faire croître ,t, on tro^ji-
vera d^ piôme une racine réelle à chaque tour de circQû-
férence , dans le troisième quadrant , c'est-à-dire 4e
(2ft + '^ ^ (2fc -|- 1 ) 7Î + -. Ainsi l'équation admet une
ÎD/mtté de racines réelles.
Proposons-nous de calculer la plus petite racine positive; pour X =:ic-f y , la tangente est égale à i et la fonction est
encore positive; la racine est donc comprise entre — -
3ir et — , c'est-à-dire entre 3,0 et 5. Essayons le nombre ins
termédiaire 4>5- Posons j? = 7c+x'; pouraî = 4»5, l'arc ai est égal à i ,5584 et vaut à peu près 77*» 5o' en degrés anciens. On cherchera dans les tables le logarithme de la tangente, puis la valeur même de la tangente :
a? = 4,5, a?' = 77'5o', logtangx' = o,6663537 ; tang x' = 4,0384, f[x) = — o, 1 384,
Le résultat étant négatif, le nombre 4»^ ^st trop grand. Essayons 4i4 :
a? = 4,4, d= 7a*»6', logtanga?'= 0,4908093, tango?' = 3,0960, f[;x) = + i,3o4o.
Ainsi la racine est comprise entre 4)4 et 4)^ 6t très-rapprochée de ce dernier nombre.
L'interpolation par parties proportionnelles donne la correction 0,09. Nous essayerons donc 4,49 •
^ = 4>49* a?'=77^i5'3o", tangx'= 4,4233, /•(x) = + 0,0677 X = 4,5o , 5/= 77»49'5o", tauga?'= 4,6372, f(x) = — o, 137a
La racine est comprise entre 4»49 et 4,5o. L'interpolation par parties proportionnelles donne 2=0, 53 par défaut ; on essayera donc 4>4934-
jr=r44934> â?'=77'27'io"3, tanga?'=4>493aio, /l[x)=+ 0,000190 0? ==4,5935, a7'=77''37'3o"9, tanga?'= 4,49533a, f(x)= — 0,00 i83a
BÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSGENDAIITES. 8A0
La racine est comprise entre 4)4934 6t 4»4935 et trësrapprochée du premier de ces nombres. L'interpolation donne
z = = 0,094. On aura donc
2A4. Exemple V. Soit l'équation c«— e =ax y
que Ton a à résoudre dans le problème de la cbainette, c'est-à-dire lorsqu'on cherche la forme d'équilibre d'une chaîne pesante. Prenons a = 12,54, on a
On calculera e* et c"* par les formules
loge* = Ma? = 0,434294482 X X , logc*= — loge*.
L'équation est vérifiée pour a;= 0; mais elle admet en outre une racine positive que nous nous proposons de déterminer. La valeur a:= 1 donne évidemment un résultat négatif, et de même x=^2. Substituons les nombres suivants :
a? = 5, c*=2o, f{x) = — 17, x = ^y e*t=55, flx) = + 5.
La racine est comprise entre 3 et 4* L'interpolation donne j5r=:o,8. Essayons 3,8 :
X = 5,8, c" = 44>7oi 2, e' = 0,0224, f{x) = — 2,9782, X = 5,9, e* = 49, 1 025, e* = 0,0202, f(x) = + o,4752. La racine est comprise entre 3,8 et 3,9.
3&0 £miB YII| QHAPi Vi
La méthède d'c^roximation de Newton donne
L'erreur commise est moindre que 0,00012; ainsi la valeur de a est comprise entre — 0,01291 et— o,oi3o4. Qn prendra a = — o,oi3o et l'on aura la i^acine J?=:i:8,887* P^r excès avec quatre décimales exactes,
2A54 EiempleVL La détermination du mouvement d'uM planète ou d'une comète autour du aoleil se ramàuQ à l» résolution de Téquatioa
u — esinw = Ç,
dans laquelle la lettre Ç dêdigne un angle donné, u un angle cherché, e Texcentricité de Torbite divisée par sin 1".
Quand on obtient cette équation, ^^Çitu désignent des longueurs d'arcs, e Texcentricité; on la transforme en changeant les arcâ eu angles. Soit x le nombre qui mesure la longueur d'un arc, le rayon étant pris pour unité; on sait quOi dans la construction des tables trigonométrîquesi la longttwr de Tare d'une seconde a été prise pour le sinue
de l'angle d'une seconde ; le quotient îxf i= -. — rt exprîmèi*
donc combien l'angle qui correspond à l'arc x contient de fois l'angle d'une seconde. Ainsi, pour transformer un arc en angle, l'angle de 1" étant pris pour unité, il suffit de le diviser parsm 1*'. Si donc on divise î)ar êin i^toui les termes de l'équation u — c sin w = Ç, on obtient l'équ»»
tiontt' ; — j^sinw'sasîi'. Quand il s'agit des planètes
dont les orbites ont, en général, des excentricités très-petites» on peut résoudre l'équation par la méthode des ap<-
RÉSOLUTION DES ÊQ9ÂTIÔNS tftAKSGENDÂNTËS. èSl
proximations successives. Écrivons, en effet, Têquatlon dous la forme
En négligeant le second terme du âecoôd membre, on à une première valeur approchée u^ = Ç. Substituant cette valeur dans le second membre, on a une seconde valeur u^ = ^-\- esin^ plus rapprochée que la première. Substituant cette seconde valeur approchée dans le second membre» on a une troisième valeur encore plus approchée 11^ = 1^ -|- e sin Wj , et ainsi de suite.
Prenons !^=63''28'54",6 et l'excentricité 0101679826 de Torbite terrestre. On cherche d'abord
logo,o.6,9«»6 ^
^ lOgSmi' :7 cr -t 7
qui servira dans tout le cours du calcul. Calculons par logli* rtthm«A la premiire oorreoiion e sin ^ :
log e = 5,5395345 logsinC = 1,9478572
3,4873915 ésinÇ = o*8t'ii%8; î/, = 63*2o'6^4.
Calculons de même la seconde correction e sin u^ — e sin Ç:
loge = 3,5395343 log sin u^ = 1,95 1 1658
logo'5i'35",5 ... = 3,4907001 € sin tij — c sin Ç = 25%6 ; Wj = 63° 20' 29^,9 ,
Calculons ensuite la troisième correction e sin m, — e sin u^:
loge = 3,5395543 log sin Wj == r,95 1 1906
logo*5i'35",5 ... = 3,4907249 esinw, — esin Wj = o%2 ; w, = 63*'2o'3o'';K
352 LIYBE Vn, GHAP. T*
On voit que les corrections deviennent de plus en plus petites; la correction suivante n'aurait pas d'influence sur les dixièmes de seconde. Le calcul se fait très-rapidement, parce qu'on se sert toujours de la même partie des tables.
Exercices.
!• Partager un hémisphère en deux parties équivalentes par un plan parallèle à la base.
^ Déterminer les dimensions d'un prisme droit à base carrée, connaissant la surface totale et le volume.
8* Déterminer les côtés d'un triangle rectangle, connaissant la somme des deux côtés de l'angle droit et le volume qu'engendre le triangle tournant autour de l'hypoténuse.
4° Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes par une droite parallèle au diamètre.
b"" On a trouvé, pour l'écoulement de Teau dans les tuyaux de conduite, la formule empirique
Q = 2i,o45v/ÏÏV — 0,01960%
dans laquelle D représente le diamètre du tuyau en mètre, j la pente par mètre, Q la dépense par seconde en mètres cubes. Calculer le diamètre qu'il faut donner à un tuyau pour que sous une pente donnée il fournisse une quantité d'eau déterminée. — On emploiera la méthode des approximations successives à cause de la petitesse du second coef« ficient.
DÉCOMPOSITION DES FRàGTIONS RATIONNELLES. S53
