DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES

246. On appelle fraction rationnelle une fraction algébrique dont les deux termes sont des polynômes entiers

d'une même lettre x. Soit •—-— une fraction de cette forme.

Nous pouvons toujours supposer cette fraction irréductible; car, si les deux polynômes avaient des facteurs binômes communs, on les supprimerait. Lorsque le numérateur est d'un degré plus élevé que le dénominateur, on effectue la division en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de a?, ce qui donne un quotient entier et une fraction ayant son numérateur d'un degré moins élevé que le dénominateur. Laissant de côté cette partie entière, nous

avons à considérer une fraction irréductible -— -• dont le

numérateur est d'un degré moins élevé que le dénominateur. Nous désignerons par m le degré du dénominateur, le numérateur étant au plus du degré m— i.

Cas des racines inégales.

247. Supposons d'abord que l'équation f(x) = o n'ait pas de racines égales. J'appelle a, 6, c, fc, * les m racines de cette équation, et je pose

Je remplace a? par a + (a;— a) , et, regardant x—a comme

un accroissement, je développe les deux polynômes F^x) eXf^{x) suivant lespui^swcê^ croissantes de a; — a,

Je divise le premier polynôme par le second, en ordonnant le quotient par rapport aux puissances croissantes de x — a;

le premier terme du quotient est —^ ; j'appelle A ce premier terme ; en multipliant le diviseur par A et retranchant le produit du dividende, on a un reste qui ne contient plus de terme constant; si Ton met x — a en facteur commun, ce reste peut être représenté par {x — ayP^{x), Du dividende, qui est au plus du degré m — i, on retranche le produit Kf^{x) qui est du degré m— i, et Ton met x-^a en facteur, le polynôme F^(x) est donc au plus du degré m — 2. J'arrête la division à ce premier terme; le dividQfiâQ étant égal ftu proiiait du diviseur par le quotient, plus le reste, on a

En divisant les deux membres par f{x) ou par {pô—a)f^{x\ il vient

AÎMÎ la friK^tioQ proposée e»t égale à u»e preoiiëfe frac-

tion simple , plus une fraction rationnelle '; : de

même forme que la première, mais d'un degré moins

étevÀ Le âéoomifMteur f^[x) est en effet du degré im— i,

oÉGOMPOsiTioir m» ^|iaci:m)«$ i^tionnelles. 4#^

le Quœérateur Fj(a;)>au plus du degré $n — 2« Cette nouvelle fraciioa est d'ailleurs irréductible comme la proposée; car ai les deux termes avaient uo facteur binôme commun^ ce ne pourrait être que l'un des facteurs de f^(x)y par exemple a? — 6; ce facteur, divisant les deux parties qui composent le second membre de l'équation (1) , diviserait leur somme ¥{tx^ , ce qtii est impossible, puisqu'on a supposé qu'aucun des facteurs de f{x) ne divise F(x).

Les mêm£S xai&onnement3 s'appliquent à la fraction

' /) \ . Si Ton pose f^{x) =(x—b)f^(x), on aura

F (x) la nouvelle fraction -:2 — {• est aussi irréductible, son dé-

Dominateur du degré m^-a, «k^ luumérateur au plus du degré m^3.

De môme

en continuant dç cette manière, on arrivera enfin & une fraction du premier degré

An-i(^) a? — A:*

Si l'on jajoute toutes 4:68 égalités^ les fractions intermé- , diairep disparaissent, ^t l'on a

Ainsi te fraction rationnelle e»t déoomposaôle ^m une

somme de fractions simples^ ayant respectivement pour dénominateurs les facteurs simples qui composent le dénominateur de la fraction proposée et pour numérateurs des constantes.

2&8. Je dis maintenant que la fraction proposée n'est

décomj^osahle qu'en un seul système de fractions simples.

On démontre, en effet, que deux systèmes de fractions

simples

X'^of X— .6' X — A'

égaux pour toutes les valeurs de â?, sont identiques. Multiplions par X — a, il vient

Donnons maintenant à a? la valeur particulière a; le premier membre se réduit à A; si aucun des dénominateurs des fractions du second système n'était égal à x — a, le second membre s'évanouirait quand on fait a;=a; il faut donc que l'un de ces dénominateurs soit égal à x — a* Supposons, par exemple, a^=a; alors on a

et si Ton fait x=ay on en déduit A'= A. Ainsi la fraction

du premier système fait partie du second. Suppri-