Calcul des numékateuks. Nous ayons trouvé
Le premier numérateur A est la valeur de la fraction
\x — aj
quand on y fait x=a.
De même le second numérateur B est la valeur de la fraction
quand on y fait a; =6, etc.
On peut aussi calculer ces constantes au moyen de la dérivée de la fonction f{x). En effet, nous avons posé
si Ton prend les dérivées des deux membres, il vient
S58 tlVltE m, CHAP TI.
et.
«»Ms«ri«a»a
fia):
On
eo déduit
On
atir& de même
F(*) r fW ^
Amai les wtmiTiU^mrs iê$ fraetiom simples iont les difi^rses
Y(x) valeurs que prend la fraeliam jTf y » quand on y remplace
successivement x par chacune des racines a, b, k de
Téquai9Ênt{t)s:=:ù*
Exemples.
1" Soit à décomposer 1« fraction
F{x) !àx^ + 5x^~û
f[x] «* + »*' — *' — *^ En résolvant l'équation
on obtient les quatre racine» simples o, i, — i, — 2. Ainsi la fraction rationnelle se décomposera en (juatre^ fractions simples de la forme
f(x) x'^ X — ia?+i'x+a'
Pour calculer les numérateurs, nous nous servirons de la dérivée
^'(o?) =4ar' -f 6a?« — sjp — 2,
DÉCOMPOSITION DE» FRACTIONS ftATIONNELLES. 0fi9
ce qui donne
ni) 6
N(m9 âfoiid donc
a?* 4" 2^' — ^* — ^^ ^ ^ — 1 ar+i^ + 2 2" Soit à décomposer la fraction
La fraction proposée se décomposera de la manière suivante :
[x+i] (x— i) (x— 2) (^—3) a:+i "^x— 1 "*"iC— a ' af— -5'
On peut déteroûoer les constantes immédiatement et sans l'aide d'aucune formule par la méthode des coefficients mdéterminés. Si Ton multiplie par le dénominateur, l'égalité précédente devient
Cette égalité doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de x. Faisotis X succe»3Îvement égal à chacttire d«» racines «fitîpte»— ^1, i^y 9t ^, tous les termes du second membre s'éva»
nouissent, excepté un, et Ton a les relations
a= — 24A, 2 = 4B, 5 = --3C, io = 8D; d'où Ton déduit les valeurs constantes
Cas des racines égales.
250. Supposons que a soit une racine de Féquation f{x)=Q d'un ordre n de multiplicité. Nous poserons
et après avoir développé comme précédemment les deux polynômes F (a;) etf^{x) suivant les puissances croissantes Aex — a,
nous effectuerons la division du premier par le second, ordonnant le quotient suivant les puissances croissantes de x—aet poussant l'opération jusqu'au terme du degré n — 1 ; représentons ce quotient par
le reste de la division contenant à tous ses termes le facteur {x-^ay peut être mis sous la forme (a?— a)'' Fj(x), On a aiosi
F(^)=[A,+A,(^-û) +A^^[x-ar^]f,{x)+[x^a)-F,{x).
Le diviseur étant du degré m — n, et le quotient du degré
