DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNEIXES

n — 1, le produit du diviseur par le quotient est du degré m — I, et comme le dividende est au plus du degré m — i, la différence ou le reste de la division sera au plus du degré m — i; puisqu'on a mis {x — a)» en facteur, il en résulte que le polynôme F/x) est au plus du degré m — n — 1 • Il est évident, d'ailleurs, que les deux polynômes f^{x) etF^{x) sont premiers entre eux; car s'ils avaient un facteur commun, ce facteur diviserait f{x) et F(aî), ce qui est contraire à l'hypothèse. Divisons maintenant par f{x) ou (a? — a)* f^{x) les deux membres de l'égalité précédente, il vient

f{x) (a;— <'^(x — a)*^^ "T" ar— a "^ /;(x)* ■

Ainsi le facteur multiple {x — a)** donne lieu à une série

de n fractions simples, et nous avons encore à décomposer

F (x) la fraction irréductible -tV-t^ dont le dénominateur est du

degré m — n, le numérateur au plus du degrém— n— i. Supposons que l'équation f{x) = o contienne une seconde racine 6 d'un degré p de multiplicité; nous poserons f^ (x) = {x — by /*, {x) , et nous aurons de même

f,{x)^(X':-bY'^ (x — by-''^ '^X'^b'^ f,(xy

S'il y a une troisième racine c d'ordre ç, on aura encore

f,[x)-{x-cY'^(x^eY-^'^ '^x-c'^f,[xy

S'il n'y a pas d'autre racine multiple, le polynôme f^{x) ne contenant plus que des facteurs simples, on aura, d'après ce qui a été dit plus haut,

sot UYRE m 9 OHAF. YL

En ajoutant toutes ces égalités, on trouve enfin

/'(ar)"" (« — a)*"^ (a: — a)*-* ' "^ar — a

T^iP — rf^' ^x — k

A chaque racine multiple correspond un groupe de fractions simples* La première fraction de chaque groupe existe nécessairement, mais les autres peuvent matiquef; en effet, quand on effectue la division des polynômes F{x) et /, (x) ordonnés comme noua l'avons dit, les premiers termes F(a) et f^(a) ne sont pas nuls, et par conséquent le pre-

roier terme Aq= j±J-d\x quotient n'est ni nul ni infini;

mais parmi les termes suivants, quelqueft-uns peuvent avoir des coefficients nuls.

251. Je dis mainteBant qne la fraeiion proposée n*e$t décomposable qu'en un seul système de fractions simples. Sment

S- -u ^< a- y ^^ JL ^*

{x^ar ^{x — a)--' • • • • • ^ (x^by ^ [x - ô)""* *'

deux »yislèmes égaux entre eux, efuelle que soit U valeur ée âr. MuUiplkms les deux expfessrion» par {x~qY et faisons a? = a; la première se réduit à A^; » aucuoedes frae-

DÉCOMPOSITION DES FIlACTIOîfS RATIONNELLES. 365

tiens du second système n'avait pcwr dénominàteor une puissance de a?— a, le second menibre s'évanouirait quand on fait jî=«; il faut donc que certaines fractions du second système aient pour dénominateurs des puissances de x — a. Soit a^=a; je dis que n'=n; car si les deux exposants différaient, si, par exemple, n était plus grand que n', en multipliant par (x — a)**, on verrait que pour x==ale premier membre se réduirait à A^ , tandis que le second s'évanouirait ; on a donc aussi n'=n. Mais alors Tégalité devient, mptès la mulliplkatioii par {x — ay^

si l'on fait a5=a, on en déduit A^ = A'^* Ainsi la première fraction du premier système se retrouve dans le second. En supprimant ces deux fractions égales et recommençant le même raisonnement, on verrait que la seconde s'y trouve également, et ainsi de suite. Donc les deux systèmes sont identiques.

Exemple^

Soit à décomposer la fraction rationnelle

'f[x) "" x^ — ÛS^ — X* + x'*

Le dénominateur

f{x) = x^{x^iY[x+i)

contenant un facteur triple, un facteui* double et un facteur simple, la fraction propasée se développera en fractions

S6i LIVRE VII, GHÂP. YI.

simples de la forme suivante

F(^)Ao A A B, B, C

f{x) x^'^ x^'^ X "^{a?— i)*'^x— i"^ar+i*

Calculons les trois constantes qui se rapportent au facteur triple X. Nous ordonnons par rapport aux puissances croissantes de a;,

et nous effectuons la division jusqu'à ce que nous arrivions au terme du second degré , en remarquant que dans ce calcul il est inutile d'écrire les termes d'un degré supérieur au second, ce qui abrège l'opération,

— Sa? + aa?*

Puisque le quotient a été représenté par A^ + Aja;+ A,a?% on a

Ao = a, Ai= — 5, A, = — i.

Calculons maintenant les coei&cients qui se rapportent au facteur double x — i. On peut supposer que l'on commence la décomposition par ce facteur. Nous développerons jusqu'au premier degré en négligeant les termes suivants

et nous effectuerons la division