DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

Ce quotient a été représenté par B^+B^Çx—i); on a donc

Quant au coefficient G gui se rapporte au facteur simple (a?+ 1), on l'obtient par la règle ordinaire

On a ainsi

Ux^ — 5j?4-a a 3 1 2 , 4 4

a?* — ar' — ^ar*-}-^' ^' ar' a? * (ar — 1)* ' x^i a?+i

On peut employer aussi la méthode des coefScients indéterminés. On a posé

lix^^Sx+!^ ^Aq A, A, Bq B, C ^

«• — x^ — x^-^a^ ar* ' a:' x (x — i)*"^x— 1 a?-|-**

Si Ton chasse les dénominateurs, cette égalité devient

4a?' — 5a? + a = (A^ + A^a? + A,a;*) (a?— i)*(a? + 1) + [Bo + B,(a?- i)]a?»{a? + 1) + C^'(a?- 1)\

En donnant successivement à x les valeurs o, i > — 1 1 on a

d'où

Ao=2, Bo==^» 4'

Prenons les dérivées des deux membres de l'égalité précé-

M6 uvu fu, CHàPs VI.

deate, ce ^ui dôQiie

i2^'-5=(A,+aA,x)(x--i)*(x+i)+(Ao+A,a^+A,x«)[2{x-i){x+i)+(x-i)l

ft ddos cette deriûère égalité, faisoas ^x; s? o et a; = i j iw>us aurons

5 = Ai — Ao, ? = aBi + 7Bo, d'où

Il ne reste plus que la constante A, à déterminer ; pour cela fkwts pfen4{-0&6 e^^core une (oi» k dérivée et nous y ferons a; =0. Il su£Git d'écrire les ternies qui ne contiennent

a^r = 'iA^{x — i)*{x + i) + aA^ [^{x — Ot*^ + ^) + 1*"— if ] + Ao[a{^+i)+4{^-i}] + , ....

Si Ton fait «=o, îl \îent

d'où

Cas (ks rofiiws imafimifes^