La décomposition de la fraction rationnelle ^^r-f

est vraie d'une manière générale,- quelles que soient Jes racines de l'équation f(x)=Oj réelles ou imaginaires. Supposons que les 4eux polyuôfl9ie& qui composent la fraction proposée aient tous leurs coeflBcients réels ; dans ce cas, si VétfBLstàw admet une racine ima^a^« 4-^^ eUe «ydioet-

DÉGOMPOSITUW DSS FBAGTIOVS RATIONNELLES. 867

. tra la racine conjuguée a— ^t. A ces deux racine» correspondent dans le développement des fractions simples de la foraie

A + B^' A — Bi

X — a — ^V X — a + pi'

les numérateurs de ces deux fractions sont des quantités imaginaires conjuguées ; car la seconde se déduit évidemment de la première par le changement du signe de L Si Ton veut éviter les imaginaires dans la décomposition, il suflit d'ajouter ces deux fractions simples, ce qui donne

Ainsi, à un couple de racines simples imaginaires conjuguées correspond une fraction réelle de la forme

ayant son dénominateur du second degré et son numérateur du premier degré.

263. Nous avons supposé dans ce qui précède que les racines imaginaires conjuguées sont simples; supposons maintenant qu'elles soient d'un degré n de multiplicité, et, pour abréger, représentons par x^+px+q le prodtdt (flc— oi)'+p* des deux facteurs binômes du premier degré. Nous allons démontrer que la partie qui, dans le développement, correspond à ces deux racines imaginaires conjuguées d'ordre n, peut être ramenée à une somme de n fractions de la forme

(x^+px + q)''^ {x^ + px-^q)"^^ '^ x* + px + q'

868 UTRE YII, GHAP. YI.

dont les numérateurs sont réels et du premier degré. Posons f{x)={x*+px-\'qyf,(x). On peut disposer des deux constantes M^ et N^^ de manière que le polynôme

soit divisible par x* + px + q. Il suffit pour cela que ce polynôme s'annule pour a? = a + ^t et pour x = a — ^i; si nous remplaçons x par chacune de ces deux valeurs et si nous appelons A=hBt et GdzDt les valeurs correspondantes des fonctions F(x) et A(^)» i^ous obtiendrons les deux relations

(A + BO - [MJoc + PO + Nol (G + De) = o,

(A-Bil-[Mo(âc-pe) + NJ(G-Di)=:o.

On en déduit, en égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire,

(PD — aC)Mo-CN, = — A,

Ces équations entre M^ et N^ sont du premier degré; le dénominateur commun des inconnues p(C* + D*) n'est pas nul ; car si ^ était nulle, les racines ne seraient pas imaginaires; si C* + D* était nulle, le polynôme f^{x) contiendrait encore le facteur x*+px + q. On trouve ainsi pour Mq et Nq des valeurs réelles finies et déterminées.

Le polynôme (2) devenant de cette manière divisible par x^+px^q^ si l'on appelle ff{x) le quotient entier, on aura

F(x) - {M,x + NJA W = [x' + px + q)^{x),

d'où l'on déduit

F{x)^ Mo3? + No cp(x)

A^) (x* + px + qY "*■ [x' +px + qrVAx) *