DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

Ou aurait de même

(x*+px+gr''f,(x) [x^+px^qr^ ^ ix'+px+qr'f,{xy et ainsi de suite

Exemples.

1« Décomposer la fraction

Flx) g» + 5 ar» + 5

On a deux racines réelles o et — i et deux racines imaginaires + 1 et —I. Si l'on ne veut pas de quantités imaginaires dans le développement, on écrira

F(£)A B Cx + h

Pour calculer les numérateurs, on emploiera de préférence dans ce cas la méthode des coefficients indéterminés. Si Von multiplie par fÇx)^ l'égalité précédente devient

x^ + S = A(x + i)(x'.+ i) + Bx(x' + i) + (Cx + î))x{x + i).

Si Ton y fût successivement ^soetx=: — i, on trouve

Il reste à déterminer les deux constantes G et D qui correspondent aux racines imaginaires. On égalera les coefficients de X* et de x* dans les deux membres de l'égalité, ce qui donne les relations

d'où l'on déduit

C = — %, ûr=— 3.

AiQStt

X* + ^* + ^' + ^ -^ x + 1 X* + 1 * S"" Décomposer la fraction

On ^ .Uli0 raciofi gi^pple o et deux raeipes ipuaginaires conjuguées doubles ±L La fraction se décomposera donc 'doûs la forme suivante

ar(a:*+i)*"'a?"^(ar«+i)*"*" x* + i ' Si Ton chasse les dénominateurs, pu a légalité

fraisant 4PSSO9 il vient A =1 . Égalant ensuite dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x^ on obtient les relations

A + B'=o, C' = o, aA + B + B'=o, C4-C' = q;

d'où Ton déduit

Chiji ainsi

xix^ + iY X (a:*+i)? • «?+r

RÉSOLUTION DES ÉQUATIO^& Ût PREMIER DEGRÉ. f 7i

Note A. — Formule générale pour la résolution des équatiom du premier degré.

S5A. Soient n lettres a, 6, c, ..... . ft. CoDsidéroBS Yett^

pression

abc ,,.,. ôx(J— a)X [c—a] (Ç'-b)><{d—a] (rf— 6) {d—c) X

On a mis d'abord le produit des n quantités^ et^ pc^r ferintr les facteurs binômes, on a écrit à la suite de chaque IçUif ftucetsftivement chacune des lettres précédente* Lei^oo^lore des facteurs binômes est ^1 au i^ombre d^s oombifial^Wf

des n lettres deux à deux, c'est-à-dire à — LJH-i; le hù-

Itur ebe • • . . . hiAm% 4i| degré Ht le 4eeré de ^mm dçi

termes du produit est — ^ ^ 4" ^» ^^ ^ — ^. Le po-

lynéiQQ aiosi formé jouit de propriétés Feiparçudtd99 q^ nou^ iJloas démoQtrer*

^0^9 rem^quons d'abord que, si l'oii permute deu)( iettrei^ q^elconques dan^ le polyjiôme^ on reproduit le même polynôme avec des signes contraires. Permutap^^p^

exemple les deux lettres 6 et j ; le facteur abc k W?

change pas; les facteur^ binômes qui ne contiennent aucune des deux lettres 6 et d ne changent pas non plus ^led facteurs qui ne contiennent qu'une seule de ces lettres donr nent des groupes tels que

(6-«)(rf-^«), (e^b){à^e), (f^b)(f^d),

qui ne changent pas par la permutation des lettres b et d; il reste à considérer le facteur d — 6 qui renferme les deux leittrea; ce factçur devient 6 -— d ou — d -(- 6, et change de