DIVISION PARTIELLE
Les deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de m et les coefficients sont eux-mêmes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de a. Pour avoir le premier terme du quotient, il faut diviser le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; on divisera donc le coefficient
du premier terme du dividende par le coefficient a* + h* du premier terme du diviseur, fsdsant cette division à part, on trouve ainsi
pour le premier terme du quotient. On multiplie le diviseur par le premier terme du quotient et on écrit le résultat avec des signes contraires au-dessous du dividende et dans les colonnes verticales convenables. 11 est inutile d'écrire le produit du premier terme du diviseur, car on sait d'avance que ce produit détruira le premier terme du dividende. Comme il suffit de connaître le premier terme du reste pour continuer TopératioUt on ne fera la réduction des termes semblables que dans la deuxiènie colonne verticale.
Pour avoir le deuxième terme du quotient, on divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, ce qui exige que l'on effectue à part la division du coefficient
de ce premier terme par le coefficient a' + é' du premier terme du diviseur ; on trouve ainsi
pour le deuxième terme du quotient. On multiplie le diviseur par le deuxième terme du quotient, et on écrit le résultat avec des signes contraires au-dessous du dividende et dans les colonnes convenables; il est inutile d'écrire le produit dn premier terme du diviseur, puisqu'on sait que ce produit détruit le premier tern^ du reste. On réduira les termes semblables dans la troisième colonne verticale, afin d'avoir le premier terme du nouveau reste. Divisant à part le coefiicient
du premier terme du deuxième reste par le coefficient «' + fr* du premier terme du diviseur, on obtient le troisième terme du quotient
On multiplie le diviseur par le troisième terme du quotient et on écrit le résultat avec des signes contraires au-dessous du dividende; il est inutile comme précédemment d'écrire le produit du premier terme du diviseur. Réduisant les termes semblables dans la quatrième et la cinquième coonne verticale, on trouve un reste nul. L'opération est terminée.
66. Remarque II. Les raisonnements précédents et les conclusions que nous en avons tirées supposent qu'il existe un polynôme entier qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende. Voyons à quels caractères on reconnaît la possibilité de la division.
Les polynômes étant ordonnés par rapport aux puis-
sances croissantes ou décroissantes d*iine même ]etti*e» il est nécessaire d'abord que le premier terme du dividende soit divisible par le premier terme du diviseur et le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur. Soit, par exemple, à diviser
par
Le dernier terme Sx du dividende n'est pas divisible par le derjier terme 4«*du4iviseur; doncla division est impossible. Lorsque ces deux conditions sont remplies, on effectue la division parle procédé ordinaire; si l'opération ne conduit pas au dernier terme tel qu'on l'a obtenu directement, la division est impossible. Soit, par exemple, à diviser
a — 3j; — 5x*-{- 4*^ — ^* par
Le premier terme du dividende est divisible par le premier terme du diviseur, ce qui donne 2 pour le premier terme du quotient ; le dernier terme est aussi divisible par le dernier terme, ce qui donne — 2x* pour le dernier terme du quotient. Effectuons l'opération suivant le procédé ordinaire.
2 — 3x — 5aî*-f- 4^* — 6a?* a + 8a; — 6x*
+ 5x — iir'+ 4^* — ^^* — 5a? + 20a:' — i5a:'
îî + 5a: + gx*
+ gar* — 1 ix^ — Or*
L'opération nous conduit à un dernier terme + 9^'» <I^î n'est pas égal au dernier terme — 2x*, tel qu'on l'a trouvé directement. Donc la division est impossible. Soit encore à diviser
x* — 5x' — fîx' + 5a? + 4
La division du dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur donne | pour le dernier terme du quotient. Mais le coefficient du premier terme du diviseur étant Tiiniié, on n'aura dans le calcul que des coefficients entiers, et par conséquent on n'arrivera pas à un dernier terme frac^ tionnaire* Donc la division est impossible.
Lorsque l'opération conduit au dernier terme tel qp'on l'a obtenu à priori, il faut encore que le reste suivant soit nul. Soit, par exemple, à diviser
par
L'opération conduit au dernier terme — nx* tel qu'on l'obtient directement, mais le reste suivant n'est pas nulf Donc la division est impossible.
67. Remarque III. En général, on ordonne les deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre. Soit m le degré du dividende, n celui du diviseur, m étant supposé plus grand que n ; en effectuant l'opération, on obtient au quotient un polynôme entier du degré m — n. On observe que les degrés des restes successifs vont donc en diminuant d'unité en unité ; on poussera l'opération jusqu'à ce que Ton arrive à un reste d'un degré inférieur à celui du diviseur. Si ce reste est nul, la division se fait exactement et le quotient est entier. S'il n'est pas nul, il est impossible de continuer l'opération ; le quotient est fractionnaire, et pour le compléter on ajoute une fraction ayant pour numérateur le denier reste, et peut dénominateur le diviseur. En voici un exemple :
