Question I. JWtjfeer x» — a" par x ~ a

1*' reste.

2* reste.

ar"'"*-{-û^"*"'+û'^**'*.. .+a"^'ar+û*"*

Dernier reste. e?**— a**=o.

La loi des termes du quotient est facile à observer. Tous les termes sont positifs ; les exposants de x vont en diminuant, tandis que ceux de a vont en augmentant. Le dernier reste étant nul, la division se fait exactement, quel que soit l'exposant m. On a donc

=aî"*-l+ «^**"* + o'a?'""'.», + a**^*ar-|- «**"*•

Ce résultat est d'un usage fréquent en algèbre; il est bon de se le rappeler.

On pouvait d'ailleurs reconnaître à priori la possibilité de la division. En effet, on sait qu'en effectuant l'opération

LIVBE I* — CHAP. IV.

on trouvera un quotient entier du degré m — i par rapport à a? et un reste du degré o par rapport à x^ c'est-à-dire indépendant de X. Si donc on désigne par q le quotient et par r le reste, on aura

Cette égalité a lieu quelle que soit la valeur de x \ or, donnons à a? la valeur de a, le pr^aaier membre devient nul, le premier terme du second membre devient aussi nul ; car le facteur x — a devenant nul, et le polynôme entier q prenant nécessairement une valeur finie, le produit devient nul ; donc le reste r est nul ; et il est identiquement nul, c'est-à-dire qu'il est nul, quelle que soit a?, puisqu'il ne contient pas cette lettre. Donc la division est possible.