Question IV. Diviser x™ -f- a" par x + a

Le quotient a la même forme que dans l'exemple précédent. Si m est impair, le dernier terme du quotient a le signe -f et l'on a pour reste — a" + a**, c'est-à-dire zéro ; la division est possible. Mais si m est pair, le dernier terme du quotient a le signe — et l'on a pour reste + a* + a**, c'està-dire 2a*"; la division est impossible.

On peut rattacher ces deux derniers exemples aux deux précédents par des considérations sur les changements de signes. Nous savons que, lorsqu'on change le signe d'une

lettre, les puissances impaires de cette lettre changent de signes» tandis que les puissances paires ne changent pas. La division cifectuée au n** 68 prouve que Ton a

x"^ — a*" = (a? — a) (a?*^* + «^'"■'' + a'x**'*.. . — cT'^) ; changeons le signe de a; nous aurons, si m est pair,

af» — a* = (j? -|- a) (af^*— cuxf^* + «*^"*.. • + û**'^ ; et, si m est impair,

On en conclut que ar* — a** est divisible par a? + a, quand m est pair, et x** + <*** P^ a? + « quand m est impair.

12. En résumant ce qui précède, on voit qu'une opération algébrique a pour but de composer un polynôme au moyen de deux ou de plusieurs polynômes donnés, d'après certaines règles déterminées*

A un point de vue plus général, on peut considérer une opération algébrique comme ayant pour but de transformer une expression en une autre équivalente. On dit que deux * expressions algébriques sont équivalentes lorsqu'elles fournissent le même résultat, quelles que soient les valeurs nu* mériquesi attribuées aux Jettres, Ainsi les deux expressions

qui in(Uquent deux séries d'opérations différentes à effectuer sur les quantités a et &, conduiront toujours au même résultat, quelles que soient les valeurs particulières attribuées aux lettres a et 6; ces deux expressions sont donc équivalentes, et l'on peut remplacer l'une par l'autre à volonté. Il est clair que les opérations algébriques transforment les expressions en d'autres équivalentes ; car, dans les raisonnements, les lettres représentent des quantités quelconques, et non telles ou telles valeurs particulières.