ÉQUATIONS DU PREMIER DÂGRÉ
rindôtermiriaticai disparaît ; on ne peut plus prendre x arbitrairement ; car il faut que les valeurs de a? et de y satisfassent à la fois aux deux équations.
88. Parmi les diverses méthodes employées pour effectuer cette résolution, l'une des meilleures et des plus usitées est eelle dite de substUution. Nous Favons déjà fait connaître dans l'introduction (n° 21). Elle consiste à tirer de Vune des deux équations proposées la valeur de Vune des inconnues comme si Vautre était connue^ et à substituer cette valeur dans T autre équation ; on obtient ainsi une équation à une inconnue que l'on résout par le procédé ordinaire.
Soient les deux équations simultanées
(a) 7a? + 1 ly = 45,
que nous numérotons, afin d'abréger le discours. De la première tirons la valeur de y, comme si la valeur de x était connue, nous avons
Substituons cette expression à la place de y dans la seconde équation, nous obtiendrons une équation à une inconnue
(4) 7^?+ Il— ^5=45.
Cette équation, résolue par le procédé habituel, nous donne a; =3. En portant cette valeur dans réimpression (5) de y, nous trouvons y =; 9. Telles sont les valeurs des deux inconnues.
89. Il est aisé de voir que cette méthode remplace lé système des deux équations proposées (1) et (2) par le système équivalent des deux équations (5) et (4). En effet, nous remarquons d'abord que Féquation (5) n'est autre que
92 LIVRE IL • — cnip. h
l'équation (i) transformée. Si donc, pour certaines valeurs de X et de y, les équations (i) et (2) sont satisfaites, l'équation (3), qui est la même que l'équation (i), le sera évidemment, et aussi l'équation (4) , qui ne diifère de l'équation (2) qu'en ce que la quantité y a été remplacée par
une quantité égale — ^— ^. Réciproquement, si, pour cer-
taines valeiu's de a? et de y, les équations (3) et (4) sont satisfaites, l'équation (1), qui est la même que l'équation (5), le sera évidemment, et aussi l'équation (2) qui ne diffère
de l'équation (4) qu'en ce que la quantité — ;;— a été
remplacée par la quantité égale y. Les deux systèmes
d'équations admettent donc les mêmes solutions, et par
conséquent sont équivalents.
Mais l'équation (4) , transfoimée, devient
On peut donc remplacer le système proposé par le système équivalent
(5) ar = 5.
L'équation (5) n'est satisfaite que par la valeur aî=3; pour satisfaire en même temps à l'équation (3), il faut donner à y la valeur 2. Ainsi ce dernier système d'équations, et par conséquent le système proposé, admet la solution .05=3, y= 2, et n'en admet pas d'autre.
Exemples.
90. Dans la pratique, on profitera de toutes les circonstances qui permettent de simplifier le calcul.
I* Résoudre les deux équations
Les deux coefficients de x étant les mêmes, on tirera de la pi*emiëre équation la valeur de x^
l'on substituera dans la seconde, ce qui donne
e dénominateui* 4 disparaît de lui-même, et Téquation s'écrit plus simplement
d'où l'on déduit
et, en portant cette valem* dans l'expression de a?,
ar = 3.
«i"" Résoudre les deux équations
17a: — ioy=i 11, i3a? — 5y= 19.
Le coefficient de y, dans la première équation, étant un multiple de coefficient de y dans la seconde, on tirera de celle-ci la valeur de y
que l'on substituera dans la première, ce qui donne
\Zx — 10
ou, plus simplement,
On en déduit
3*» Résoudre les équations
Sx — n.y= 1, igy — i2J? = 11.
Les deux coefficients de x ayant un commun diviseur^ de la première équation on tirera
et Ton substituera.dans la seconde, ce qui donne
1 + iiv
igy— 12 — 8 ^^''
Si Ton divise par 4 ks deux termes de la fraction, cette équation se simplifie et devient
On en déduit
Résolutions de trois équations du premier degré à trois
inconnues.
91. La marche à suivre est toujours la même : de l'une des trois équations proposées on tirera la valeur de Vune des inconnues, comme si les valeurs des deux autres étaient connues i et Von substituera cette valeur dans les deux autres équations. On obtiendra ainsi deux équations à deux inconnues que Ton résoudra par le procédé indiqué précédemment.
Soient les trois équations
(3) 2x — dt/'\-6z= 1.
Si de la première on tire
ÉQUÂTIOMS OU ^REUlEft DEGRÉ. 96
et^ que Ton substitue dans les deux autres, on a les deux équations à deux incotmiies
(6) ..^5y + 6 ^ + ^r'' - '^ qui simplifiées, deviennent
5îiy — 33â?=iio,
La question est î*amenée ainsi à la t-ésolution de deux équations â deux inconnues. Si de la dernière on tire
et que Ton substitue dans la précédente, on a F équation à une inconnue
ou, plus simplement,
Cette dernière équation, résolue, donneur = 2. Portant cette valeur dans F équation (7), on en déduit y = 3; portant ces deux valeurs dans T équation (4) , on a enfin 5 = 1. Telles sont les valeurs des trois inconnues.
92. Il est aisé de voir que la méthode transforme le système des trois équations proposées dans le système équivalent des trois équations (4), (5) et (6). En efiet, Téquàtion (4) est la même que F équation (1), et Ton déduit les équations (5) et (G) dés équations (2) et (3) en remplaçant z par une quantité égale, ou réciproquement.
Mais le système des deux équalioiiis (5) et (6) peut être remplacé à son tour par le système équivalent des deux équations (7) et (8) , et cette dernière , résolue , devient
96 UVBB II, — GQAP. I.
aj=2. Ainsi, le système des trois équations proposées est transformé dans le système équivalent
La dernière équation n'est satisfaite que par la valeur a; = 2 ; pour satisfaire en même temps à la seconde, il faut donner à y la valeur 3, et pour satisfaire à la première, il faut donner à % la valeur 1. Ainsi ce dernier système, et par conséquent le système proposé, admet la solution
et n'en admet pas d'autre.
Exemples.
93. Dans chaque cas particulier, on dirigera les calculs de manière à les simplifier autant que possible. !• Résoudre les trois équations
^4"3y + 3^=i®> x + ^y + gz=20.
Si de la première on tire
et que Ton substitue dans les deux jiutres, on a les deux équations à deux inconnues
qui, simplifiées, deviennent
On résoudra ces deux équations en tirant de la première
et, substituant dans la seconde, ce qui donne
3(4— az)4-8z=i4, d'où
Portant cette valeur dans l'expression de y, on trouve y=2 ; portant ces deux valeurs dans l'expression de x, on a a; = 3. 2° Résoudre les trois équations
Les trois inconnues n'entrent pas dans chacune des trois équations et le calcul est plus simple. Si de la troisième équation on tire
et que l'on substitue dans la seconde, on a
plus simplement
6a: — 4y == î^o, ou
3a? — ay = 10.
Cette équation, jointe à la première qui ne contient pas z, forme un système de deux équations à deux inconnues
5x — 7y = 2, 3x — ay = 10.
Si de la dernière on tire
et que l'on substitue dans la précédente,* on a l'équation à
une inconnue
Sx -r- 7 = 2.
M UYRI II. «-1- eHAF. I.-
Op dj^mt do là
3» Résoudra l^çg trçi^ équations
8^2 -^ 3t/ = 4?, Sa? + 2y — 22 = 19,
% de la seconde équation on tire
et que Ton substitue dans la troisième, on a Téquation
qui, simplifiée, se réduit à
Cette équation donne immédiatement a? = 7. La valeur de a; étant connue , on tirera de la première équation y^p^^; en portant ces deux valeurs dans l'expression de z^ on aura j2 = 4.
Rpsolution d'un nçfi^bre quelconque ^équations
du premier degré,
94. La méthode de substitution, que nous avons employée pour deux et pour trcris équations, s'applique sans difficulté à un plus grand nombre d'équations. Supposons que Ton ait à résoudre n équations à n inconnues* De la prenaière équation on tirera la valeur de la première inconnue que Ton substituera dans toutes les autres équations, ce qui donnera n '^ i équations^ à n *^ ^ inconnuesi qui , jointes à la prermière, formeront un système équivalent au système proposé. De la seconde équation de ce second système, on tirera de même la valeur de la seconde inconnue que l'on substituera
ÉQUATIOna DD PREMIER ORGRÉ. 9d
dan» toutes les i^uivantes ; et U système proposé sera transformé &i yp systëmo équivalent composé» d'uâe équation ji n inconnues, d'une à n--^ i incoupues, etde ti^^R équâtiopè an — 2 inconnues, On continuera dç la mêipe manière jusqu'à ce que Ton arrive ^ une équation à ujie inconnue, et alors le système des n équations sera transformé en up système équivalent de n équations, omtenant, la première les n inconnues, la seconde n — i , la troisième n — 2 ,. . . , enfin la dernière une seule inconnue* Dç cette équation , m déduira la valeur de la dernière inconnue, et en remontant de proche en proche , on trouvera successivement les valeurs de toutes les inconnues.
Appliquons cette méthode à la résolution de quatre équations à quatre inconnues.
De la première équation tirons la valeur de a?, substituons-la dans toutes les autres et simplifions, nous transformerons le système des équations proposées en un autre
équivalent
De la seconde équation de ce second système tirons la valeur de y et substituons-la dans les deux suivantes, nous obtenons le troisième système
a? = 1 4" ^y — « -)- 3m> 6 4- 2Z^Gu (5) ( ^ "" 3
2 4- 3w = 6, i 4" ^ow = i3.
