ÉQUATIONS OU PREMIER DEGRÉ

des précédentes, on obtient les valeurs des inconnues

97. La méthode dont nous venons de faire quelques applications repose sur le théorème suivant, dont on se sert fréquemment en mathématiques.

Théorème III. Étant données plusieurs équ^tions^ on peut remplacer Vune d'ellesparT équation queTon obtientenajoutant ou en retranchant les équations proposées membre à membre.

Considérons d'abord deux équations

(la) B = o,

que Ton peut toujours mettre sous cette forme, en faisant passer tous les termes dans le premier membre. Si on les ajoute membre à membre, on forme une nouvelle équation

qui peut remplacer Tune des équations combinées, par exemple la deuxième, et le système des deux équations

sera équivalent au système des deux équations proposées. En effet, si, pour de certaines valeurs des inconnues, les équations (i) et (2) sont satisfaites ^ l'équation (3) le sera aussi ; car les deux quantités A et B devenant nulles, leurs somme A + B est aussi nulle. Réciproquement, si les deux équations (1) et (3) sont satisfîtes, l'équation (s) le sera

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aussi ; car la somme A 4- B étant nulle^ ainri que la pre^ mière partie A, il est nécessaire que la seconde partie B le soit aussi. Les deux systèmes , admettant les mêmes solutions, sont équivalents*

De même si, au lieu d'ajouter, on retranche les équations membre à membre, on obtient un système

équivalent au système proposé.

98. Corollaire. Avant d'ajouter ou de retrancher les équations proposées, on peut multiplier les deux membres de chacune d'elles par un nombre arbitraire; car on sait que, lorsqu'on multiplie tous les termes d'une équation par un même nombre, l'équation reste équivalente à elle-même. Si donc, avant d'ajouter, nous multiplions la première équation par m, la seconde par n, nous obtiendrons le système

wA -|- nB = o,

équivalent au système proposé.

Ceci donne le moyen d'éliminer une inconnue entre deux équations; il suffit pour cela de multiplier les deux équatiens par des nombres tels, que les deux coefficients de l'inèonnue qu*on veut éliminer deviennent égaux entre eux, puis d'ajouter ou de retrancher, suivant qu*il8 ont des signes contraires ou le même signe.

Soient, par exemple, les deuX équations

9a? + 5y es: 38.

Si uous multiplions laprômiërè par S, la seconde par S^ ces deux équations deviennent