UVRE U. — CHAP. U

parcourt sur une droite successivement plusieurs longueurs données. On demande à quelle distance il se trouve finalement du point de départ.

La question présente plusieurs cas différents, suivant que chacune de» longueurs est parcourue dans un sais ou dsms r autre. Lorsque toutes le» longueurs sont parcourues dans le même sens à la suite les unes des autres, elles s'ajoutent évidemment; si donc on appelle a, 6, c, d ces diverses longueurs que, pour préciser, nous supposerons au nombre de quatre, et x la distance à laquelle le mobile se trouve finalement du point de départ, on aura la formule

Grâce à la eopsidération des quantités positives oa néga^ lives, cette formule peut être étendue à tous les autres cas. En effet, soit le point de départ du mobile sur la droite donnée ; prenons vers la gauche un point K situé à une distance arbitraire m du point 0, mais asses grande pour que le mobile reste toujours à sa droite, et proposons^nous d'éva-^

luér à chaque instant la distance du mobile à ce point fixe K, Ali moment du départ, le mobile est en 0, à la distance m du point K; il parcourt ensuite diverses longueurs OA, AB, BC, CD dans un sens ou dans l'autre ; il est clair que chaque longueur parcourue de gauche à droite, l'éloignant du point K, devra être ajoutée, et par conséquent regardée comme positive, et que chaque longueur parcourue en sens contraire, c'est-à-dire de droite à gauche, le rapprochant du point K , devra être retranchée, et par conséquent regardée comme négative. Si donc on représente par les lettres a, 6, c, d les longueurs données, affectées chacune

QUAimtÊs hêoativës. 111

du signe + ou du signe — , suivant qu'elle est parcourue de gauche à droite ou en sem contraire , la distance finale du mobile au point K sera exprimée par la formule

Supposons maintenant que le mobile aille directement du point au point D, et désignons par x la longueur OD, affectée du signe + ou du signe — suivant qu'elle est parcourue de gauche à droite ou de droite à gauche, la distance finale du mobile au point K sera exprimée aussi par m + â?» On ftur^ dope

Si Ton retranche la quantité m de part et d'autre, il vient

(i) a: ;^ a + * + ^ + rf-

Lorsque le polynôme aura une valeur positive, la distance a?, devant être ajoutée à m, sera comptée à partir du point vers la droite ; lorsque le polynôme aura une valeur négative, la distance x^ devant être retranchée de m, sera comptée à partir du point vers la gauche.

Supposons , pa» exemple , que le mobile parcoure une première longueur OA de 5 mètres de gauche à droite, une seconde AB de 5 mètres en sens contraire, une troisième 6C de 4 mètres de gauche à droite, et enfin une quatrième CD de 8 mètres en sens inverse; afiectant chacune d'elles du signe convenable, on fera

rf.= +5, 6 = — 5, 6=+4» d = — 8,

La formule générale (i) indique qu'il faut faire la somme algébrique des quantitésreprésentées parles lettres a^5,c,d; or, oci sait que Tadâitiôn dgébrique consiste à écrire les quantHéd ftveo leiurs signes \ on aura donc^ en remplaçant

les lettres par leurs valeurs ,

Cette valeur — 2 signifie qu'il faut de la distance m retrancher 2 mètres ; ainsi le point d'arrivée D sera à 2 mètres du point de départ vers la gauche.

102. Problème II. On connaît l'âge d'un père et celui de son flUf et Ton demande à quelle époque Vâge du père sera ou a été triple de Vâge du fils.

Appelons a l'âge actuel du père, 6 l'âge du fils, le rapport actuel de l'âge du père à l'âge du fils est y. On sait

que lorsqu'on augmente d'une même quantité les deux termes d'une fraction plus grande que l'unité, la fraction diminue ; donc, si le rapport des âges est actuellement plus grand que 3, il arrivera un moment où il sera égal à 3; mais s'il est actuellement plus petit que 3, il a été autrefois égal à 3. Ainsi la question présente deux cas bien distincts, suivant que l'époque cherchée est dans l'avenir ou dans le passé. Dans le premier cas, il faudra ajouter aux âges actuels un certain nombre d'années ; dans le second cas, en retrancher un certain nombre d'années. Si donc on désigne par la lettre x ce nombre d'années, affecté du signe + ou du signe — , suivant qu'il doit être ajouté ou retranché, l'équation

fr+ X

conviendra à tous les cas de la question. On en déduit la

formule

A l'inspection de cette formule, on reconnaît en effet que, si a est plus grand que 36, c'est-à-dire si l'âge du père est

actuellement plus grand que trois fois l'âge du fils, l'inconnue X a une valeur positive , et que , dans le cas contraire , elle a une valeur négative.

Pour montrer une application de cette formule, supposons que le père ait 4o ans, le fils lo (n** 12). En remplaçant a et 6 par leurs valeurs, on trouve

Cette valeur positive indique qu'il faut ajouter 5 ans aux âges actuels ; ainsi l'âge du père sera dans 5 ans triple de l'âge du fils. Et, en effet, à cette époque le père aura 45 ans et le fils i5, et 45 est bien le triple de i5.

Supposons maintenant que le père ait actuellement 45 ans, le fils 1 7. La formule donne

Cette valeur négative indique qu'il faut retrancher 3 ans des âges actuels; ainsi l'âge du père était, il y a 3 ans, triple de l'âge du fils.

103. Remarque I. Nous voyons par ce qui précède que certaines espèces de grandeurs sont susceptibles d'être comptées dans deux sens, inverses l'un de l'autre. Ainsi, partant d'un point quelconque, on peut marcher sur une ligne dans un sens ou dans le sens opposé. On regardera comme positives les longueurs parcourues dans un sens convenu (par exemple de gauche à droite si la ligne est horizontale) , celles portées en sens inverse comme négatives.

On comprend bien la signification de ce double signe affectant les longueurs, si Ton imagine un point K trèséloigné vers la gauche (voyez n** 101), d'où l'on suppose pour un instant que l'on compte les distances; la distance du md)ile à cette origine fictive augmentera si la longueur est parcourue de gauche à droite, et diminuera si elle est parcourue en sens contraire.

11& Litre u. — ghap. n.

Le temps présente aussi denu mm oi^aéa. Com]^ à partir d'un instant quelconque, si Ton en descend le cours^ c'est-à-dire si Ton marche vers l'avenir, il sera naturellement affecté du signe -f ; au cpntraire, si l'on remonte vers le passé, il sera affecté du signe — . En effet, que' l'on imagine une origine fictive très-reculée, le temps, compté k partir de cette origine fictive, sera augmenté dans le premier cas, diminué dans le second cas. Par exemplcf dans les calculs qui se rapportent à notre siècle, les astronomes ont coutume de compter le temps à partir du i**" janvier 1800; si l'on marche de 10 ans en avant ou en arrière, on aura un temps représenté par -j- 10 ou par — 10 ; et en effet, en rapportant à l'origine ordinaire qui est beaucoup plus reculée, savoir le commencement de l'ère chrétienne, on aurait

1800 -f 10 ou 1800 — 10.

Il en est de même des degrés de température marqués par le thermomètre. Les Français prennent pour origine la température de la glace fondante; c'est là qu'est marqué le zéro. Au-dessus, les degrés sont positifs, au-dessous négatifs. Et, en effet, que l'on imagine une température plus basse que toutes celles que l'on aura à considérer, et que Ton compte les degrés à partir de ce point; à la glace fondante correspondra un certain nombre de degrés m ; la température -f- 5 , ou 5 degrés au-dessus de 0, signifie m + 5 ; la température — 5, ou 5 degrés au-dessous de o, signifie m — 5.

104. PROBiiiME III. Un mobile^ se mouvant uniformément sur une droite avec une vitesse donnée^ passe au point àun certain instant. Déterminer sa position à un instant quehconque*

En mécanique, on évalue ordinairement les longueurs en

QUANTITÉS NÉGàTITES. 116

mètres, to» temps ea secondes, ^ Ton app^e inbmie Ves» pace parcouru par le mc4)ilQ exk une seconde.

Supposons d'ab^d que le molnle marclie de gauctw à droite avec une vitesse a« et que Ton demande sa positim t secondes après qu'il a passé au point 0. Le mobile par** courant a mètres par seconde, parcourt ta mitres en s secondes, 3a mètres en 5 secondes, en général at mètres M t seccgides; si donc on appelle te la distance parcourue dans le temps ^, on aura l'équation

et cette distance, portée à partir du point vers la droite, nous donnera la position M du mobile au moment que Ton considère.