KG U

Cette formule est générale et convient à tous les cas de la question, si Ton affecte chaque quantité dn signe conve-* nable. On demande la position M du mobile, un temps queU conque après ou avant le moment où le mobile passe au point 0; désignons par t ce temps, considéré comme positif dans le premier cas, comme négatif dans le second cas, et par x la distance OM, affectée du signe -j- ou du signe — , suivant que le point M est à droite ou à gauche du point 0. La vitesse a sera elle-même positive ou négative, suivant que le mobile marche de gauche à droite ou en sens contraire ; car, si Ton imagine les distances comptées à partir d'un point K très-éloigné vers la gauche, l'espace parcouru en une seconde, ou la vitesse, devra être ajouté dans le premier cas et retranché dans lé second cas. Concevons maintenant que Ton compte le temps à partir d'une époque sufiisamment reculée, et soit G la position du mobile à cet instant (si la vitesse est positive, le point G est très-loin vers la gauche ; si elle est négative, il est au contraire très-lpin vers la droite) .

Nous pouvons toujours supposer le point K , origine fictive des distances, situé à gauche du point G , et nous appellerons m la distance KG. Désignons par a le temps qui s'écoule depuis Torigine fictive des temps, c'est-à-dire depuis le nioment où le mobile est en G, jusqu'au moment où il passe au point 0; l'espace GO, parcoiœu pendant ce temps et affecté du signe convenable, est aa. Le temps qui s'écoule depuis cette même origine jusqu'au moment où le mobile vient en M, sera représenté par a -|- f , et l'espace parcouru GM , affecté du signe convenable, par a(a -}- 1). Supposons que le mobile parte du point G , et parcoure successivement les chemins aa et a?, ce qui l'amène au point 0, puis au point M, il sera fmalement à une distance du point K marquée par

m 4- «a + ^• Mais, le mobile arrivant au point M après le temps a -{- 1 , et par conséquent après avoir parcouru l'espace a(a-}-t) à partir du point G , sa distance au point K est exprimée aussi par m+a(a4-«); on a donc l'équation générale

m -|- aa-j- a? = m -)- a (a + ^),

ou, plus simplement,

x=at.

Voici quelques applications de cette formule ;

1° Le mobile se meut de gauche à droite avec une vitesse de 1 o mètres par seconde ; on demande où il sera 6 secondes après avoir passé au point 0. On fera a= + io, t=-J-6, ce qui donne a; = + 6o. Ainsi le mobile sera à 6o mètres à droite du point 0, ce qui est évident à priori, puisque le mobile marche vers la droite.

2* Le mobile se meut de gauche à droite avec une vitesse de 1 mètres par seconde ; on demande où il était 6 secondes avant d'arriver au point 0. On fera a = -|- i o, t = — 6, d'où x= — 6o. Ainsi le mobile était à 6o mètres à gauche du point 0, ce qui est évident puisque le mobile vient de la gauche.

S"" Le mobile se meut de droite à gauche avec une vitesse de 1 mètres par seconde ; on demande où il sera 6 secondes après avoir passé au point 0. On fera a = — lo, t=-|-6, ce qui donne x = — 60. Ainsi le mobile sera à 60 mètres à gauche du point ; ce qui est évident, puisque le mobile marche vers la gauche.

4** Le mobile se meut de droite à gauche avec une vitesse de 1 mètres par seconde ; on demande où il était 6 secondes avant d'arriver au point 0. On fera a=^-io, < = — 6; ce qui donne a? = + 6p. Ainsi le mobile était à 60 mètres à droite du point 0, ce qui est évident, puisque le mobile vient de la droite.

105. Problème IV. Deux mobiles^ se mouvant uniformément sur une même droite , passent au même instant , le premier au point A, le second au point^ B. On connaît la vitesse de cJiacun d*eux. Trouver la position du point de rencontre de ces deux mobiles.

Cette question présente plusieurs cas différents , suivant que les mobiles se meuvent dans un sens oii dans l'autre , et que la vitesse du premier est plus grande ou moins grande que celle du second.

Supposons d'abord que les deux mobiles marchent tous deux de gauche à droite, et que le premier, celui qui est à droite au point A, aille moins vite que le second qui est en B.

La rencontre aura évidemment lieu en un certain point M à droite du point A. Appelons a la vitesse du premier mobile,r b celle du second, d la distance BA, f le temps inconnu après lequel aura lieu la rencontre, a? et y les distances AM et BM des points A et B au point de rencontre M.

118 LITIIE II. — GHAP. II.

Le premier mobile, parcourant a mètres par seconde , parcourra at mètres en t secondes ; on a dcmc F équation

(i) x = at',

à^ même, le second mobile « paicourdnt b mètres par so^ conde, parcourra bt mètres en t secondes, et l'on aura

(i) g^bt.

Mais la distance BM ou y devant être égale à BA plus AM, ou a la troisième équation

On a ainsi trois équations à trois inconnues ^ a?, y que Ton résoudra en substituant dans là troisième les valeurs de 0? et de y données par les deux autres, On en déduit les formules suivantes

,. d td bd

Il est aisé de voir que ces trois équations, et par suite les formules qui en résultent, conviennent à tous les cas de la question, si Ton affecte chaque quantité du signe convenable. D'après ce que nous avons dit précédemment, la vitesse de chacun des mobiles sera regardée conune positive ou négative, suivant que ce mobile marchera de gauche à droite ou en sens contraire ; les distances a; et y, comptées à partir des points A et B, seront positives ou négatives, selon qu'elles seront portées vers la droite ou vers la gauche ; le temps t est lui-même positif ou négatif suivant que la rencontre a lieu après ou avaat le moment où les deux mobiles passent aux points A et B. De cette manière, et en vertu de la for-^ mule établie dans le numéro précédent, oa voit que les équations (i) et (2) conviennent à tous les cas de la question. Il en est de wéim de Téquatiw (3) , si Toq remarque qu eo

QUAirriTÉS NÉGATITES. 119

partant du point B on arrive au même point M, soit en parcourant la distance y, soit en parcourant successivement les distances d et x.

106. Pour achever de familiariser les élèves avec Finterprétàtion des quantités positives ou négatives, nous ferons encore quelques applications de ces formules. Supposons la distance BA égale à 120 mètres, c'est-à-dire d = 120.

1* Les mobiles marchent tous deux de gauche à droite, le premier avec une vitesse de 6 mètres par seconde , le second avec une vitesse de 10 mètres. On feraa=r-{-6, 6 =s + 10 , ce qui donne

t=: -\- 3o, X = 180, y = 5oo.

Ainsi, la rencontre aura lieu après 3o secondes, à droite et à 180 mètres du point A. C'est le cas que nous avons examiné d'abord.

2" Les mobiles marchent tous deux de gauche à droite ; le premier avec une vitesse de 6 mètres par seconde , le second avec une vitesse de 4 mètres. On fera a = + 6, 6 = + 4 f ce qui donne

l-rr— -= — 60, a:= — 56o, y=: — 240.

Ainsi la rencontre a eu lieu il y a 60 secondes, à gauche, et à 240 mètres, du point B. On voit en effet que le premier courrier allant plus vite que le second a dû le dépasser en un certain point situé à gauche du point B.

3° Le premier mobile marche de droite à gauche avec une vitesse de 5 mètres par seconde,, le second de gauche à droite avec une vitesse de 5 mètres. On fera a = — 3 , 6= + 5 , ce qui donne

Ainsi, la rencontre aura lieu entre les points A et B; ce qui

est évident à priori^ puisque les deux md)iles marchent à la rencontre Tun de l'autre.

107. Remarque IL Les exemples précédents montrent combien il est utile de représenter par les mêmes lettres des quantités, tantôt positives, tantôt négatives, suivant les différents cas de la question que Ton traite. Cette extension donnée à la signification des lettres ne change rien au mécanisme des opérations algébriques, ni aux transformations servant à la résolution des équations. Voici comment on peut se convaincre de cette vérité importante.

Nous avons appelé expressions équivalentes deux expressions qui donnent le même résultat, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui les composent, et nous avons dit, en terminant le ch. iv du livre I (n'72), qu'une opération algébrique transforme une expression en une autre . équivalente. Mais jusqu'alors nous ne donnions aux lettres que des valeurs positives. Il est aisé de voir que l'égalité subsiste quand même on donne aux lettres des valeurs négatives. Soit, par exemple, l'égalité

qui est vraie , quelles que soient les valeurs positives attribuées à a et à 6. Si nous changeons le signe de 6, d'après la remarque du n° 55, cette égalité se transforme en cette autre

vraie aussi, quelles que soient les valeurs positives attribuées à a et à 6. Or, donner à 6 dans la première égalité une valeur négative — 5, c'est la même chose que donner à 6 la valeur positive + 5 dans la seconde ; la seconde égalité étant satisfaite pour la valeur positive, la première l'est aussi pour la valeur négative. Ainsi, les opérations algébriques transforment les expressions en d'autres équivalentes, quelles que soient les valeurs, positives ou négatives, attribuées aux lettres.

Les transformations que nous ayons fait subir à une équation ou à un système d'équations, et les méthodes de résolutions qui en dépendent, doivent être entendues aussi dans le sens le plus général ; elles sont vraies , que les valeurs des lettres soient positives ou négatives. Soit, par exemple, l'équation

Si l'on ajoute aux deux membres la quantité x et si l'on retranche i4» cette équation devient

ou

Or, que la valeur de x soit positive ou négative, on a ajouté aux deux membres de l'équation proposée la même quantité et par conséquent on l'a transformée en une équation équivalente. Cette dernière n'étant satisfaite que si l'on donne à a? la valeur négative — 2 , il en est de même de l'équation proposée. On dit dans ce cas que l'équation admet une solution négative x= — 2.

Considérons encore le système des deux équations

Sy — iix=i.

La méthode de substitution le transformera en cet autre

qui lui est équivalent, que les valeurs des inconnues soient positives ou négatives. Mais ce dernier n'est satisfait que par les valeurs négatives a? = — 3, î/= — 4; il en est de même du système proposé.

122 UYBE II. — GHAP. U.

lOS. Remarque III. Dans une quantité affectée du signe + ou du signe — , il y a lieu de distinguer la Ysleur absolue et la valeur relative. La valeur absolue est la quantité, abstraction faite du signe ; la valeur relative la quantité ayec son signe. Ainsi, la valeur absolue de la quantité négative — 5 est le nombre 5, la valeur relative est le nombre 5 à retrancher.

On s'est occupé naturellement de la comparaison des valeurs relatives des quantités , positives ou négatives, de même espèce. Une quantité positive, étant une quantité à ajouter, donnera un résultat d'autant plus grand que sa valeur absolue sera plus grande. Au contraire, une quantité négative, étant une quantité à retrancher, donnera un résultat d'autant plus petit que sa valeur absolue sera plus grande. Pour fixer les idées, supposons que la lettre x représente le résultat des opérations d'un négociant dans le courant de la journée (n^* 33) ; admettons que le négociant ait en caisse , au commencement de la journée, une somme d'argent suffisamment grande que nous désignerons par m. La fortune du négociant est devenue m + a?. Il peut arriver que la somme des dépenses égale celle des recettes, alors la valeur de x est zéro, et la fortune du négociant n'a pas changé. Si la valeur de x est positive, la fortune du négociant augmente d'autant plus que la valeur absolue de x est plus grande. Si la valeur de x est négative, la fortune du négociant diminue d'autant plus que la valeur absolue de x est plus grande. Pour abréger le discours, on fait abstraction de la fortune primitive, et l'on considère une quantité positive comme plus grande que zéro, et d'autant plus grande que sa valeur absolue est plus grande, une quantité négative comme plus petite que zéro, et d'autant plus petite que sa valeur absolue est plus grande. Ainsi, on dit que la quantité — i est plus petite que o, la quantité -~ »

QUAMTITÉS NÊOATlfES. 12S

fim petite que — i» la quantité — 5 plus petite que— * s,... cela signifie, je le répète, que la quantité m -— i est plus petite que m, la quantité m — s plus petite que m — i , la quantité m -^ 5 plus petite que m — s,...

Cette comparaison des valeurs relatives n'est pas moins évidente dans l'échelle des températures marquées par le tiienncnnëtre ; les nombres positifs indiquent des tempéra^ tures supérieures à la température zéro \ les nombres négatifs des températures inférieures ; les températures — i , — 2, — 3,.t. vont en s'abaissant de plus en plus.

Il en est de même de toutes les sortes de grandeurs susceptibles d'être comptées dans deux sens opposés. Nous avons déterminé (n° lOâ) la position d'un mobile M sur une droite par sa distance à un point fixe 0, en affectant du signe + les distances portées vers la droite, du signe — les distances portées en sens contraire, et nous avons appelé x cette distance affectée du signe convenable. Que l'on imagine maintenant un point K situé très-loin vers la gauche, à une distance m du point 0, et que l'on compte les distances à partir de ce point ; la position du mobile sera déterminée par la quantité m + a. Si le mobile^ paitant du point 0^ se meut vers la droite, la valeur de w est positive et va en augmentant de même que la distance m-^- x k l'origine fictive K* Si le mobile marche vers la gauche, la valeur de x sera négativQ et ira en augmentant en valeur absolue ; mais la distance m + x k l'origine fictive K ira en diminuant. Faisant abstraction de la quantité m, on dira que la valeur native de x augmente dans le premier cas, diminue dans le second.

Deê inégalUés.

i 09. Les théorèmes que nous avons démontrés sur les égalités et les transformations qui en résultent (n°» 79

i2& UVRE II. — CHAP. II.

à 82) s'appliquent aux inégalités, sauf quelques légères modifications.

i"" Une inégalité subsiste si à ces deux membres on ajoute une même quantité, ou si de ses deux membres on retranche une même quantité.

Ce que nous venons de dire sur la comparaison des valeurs relatives des quantités positives ou négatives donne à ce théorème un sens tout à fait général. Soit l'inégalité

5>3, ou m+5>m4-5;

des deux membres retranchons 7 , nous aurons m — a>m — 4^ on — 2> — 4«

11 en résulte que l'on peut faire passer un terme d'un membre dans l'autre en changeant son signe.

Mais il n'est pas permis de changer les signes de tous les termes d'une inégaUté, ou du moins, si on le fait, il faut changer en même temps le sens de l'inégalité. Soit l'inégalité

si on change les signes, on écrira

2*» On voit aussi que l'inégalité subsiste si on multiplie ou si on divise les deux membres par un même nombre positif.

Si l'on multipliîdt ou si l'on divisait par un nombre négatif, il faudrait avoir soin de changer le sens de l'inégalité. Car ceci reviendrsdt à multiplier par un nombre positif et à changer les signes.

Ces diverses transformations permettent de résoudre une inégalité comme nous avons résolu une équation. Supposons, par exemple, que la quantité x soit assujettie à satisfaire à la condition

8 4^6^ la'

Si l'on multiplie les deux membres par le nombre positif 24» pour faire disparaître les dénominateurs, cette inégalité devient

aia?— i8>4H- i^^»

Si msdntenant on fait passer les termes inconnus dans le premier membre, les termes connus dans le second , on a

1 ia?> 22,

et, en divisant par le nombre positif 1 1 ,

Tous les nombres plus grands que 2 vérifient Tinégalité proposée.

Soit encore l'inégalité

En faisant passer les termes connus dans le premier membre, les termes inconnus dans, le second, on a

i2o>5ar, ou

et, en divisant par le nombre positif 5 ,

Toutes les quantités plus petites que 24 vérifient l'inégalité proposée.