CHAPITRE III
DES CM d'IHPOWIBIUTÉ ET d'IHDÉTERMIIIITIOK.
Des cas dUmpossibilité.
110. Une équation du premier degré à une inconnue , par des transformations convenables, peut toujours être mise sous la forme
les lettres a et 6 désignant des quantités connues; d'où Ton déduit
Ainsi une équation du premier degré à une inconnue admet en général une solution, positive ou négative, et n'en admet qu'une.
Il en est de même d'un système de n équations du premier degré à n inconnues; car nous avons vu (n° 94) qu'un pareil système peut être transformé en un système équi* valent de n équations renfermant, la première les n inconnues, la deuxième n — i, la troisième n — 2 , enfin
la dernière une seule inconnue ; cette dernière équation donnera en général pour la dernière inconnue une valeur unique et déterminée , et , en remontant ensuite de proche en proche , on trouvera aussi pour chacune des autres inconnues une valeur unique et déterminée.
CAS d'impossibilité. 127
m. Il peut arriver que dans Téquation
à laquelle on est conduit en résolvant un système d'équations, le coefficient a de l'inconnue soit nul ; alors la question revient à trouver un nombre qui, multiplié par zéro, donne un produit égal à 6, ce qui est impossible; car le produit d'une quantité quelconque par zéro est toujours égal à zéro. Ainsi, dans ce cas, il y a Impossibilité de satisfaire à l'équation ou au système d'équations proposé.
Exemples,
1* Trouver un nombre qui, augmenté de son sixième et de 10, et diminué de sa moitié, égale deux fois son tiers augmenté de 8. En désignant par x ce nombre, on a l'équation
X X fx . \
qui, simplifiée, devient
+ xo = -+i6, oXx = 6,
L'impossibilité est évidente. EUe se manifeste déjà dan»
l'équation précédente; car, si l'on retranche -=- de part et
d' autres , il vient i o = 1 6 , ce qui est absurde. Ainsi , il n' existe aucun nombre satisfaisant à la question.
2** Trouver deux nombres tels que le tiers du premier égale la moitié du second moins i , et que le second égale les deux tiers du premier plus 6. Si l'on appelle x et y ces deux nombres, on a les deux équations
X y nx
En substituant dans la première la valeur de y donnée par la seconde, on obtient le système équivalent
Il n'existe pas de nombres satisfaisant aux conditions énoncées.
2* Résoudre les deux équations
3a? — 2y=io, 6a: — 4y=:i7.
En substituant dans la seconde la valeur de y tirée de la première, on trouve
Ainsi il n'existe pas de nombres satisfaisant à la fois aux deux équations proposées.
L'impossibilité se manifeste sur les équations ellesmêmes; en effet, si l'on multiplie tous les termes de la première par 2, on a
6a: — 4y = ao,
On voit que les deux équations sont incompatibles; car les premiers membres sont les mêmes et les seconds membres diflèrent.
Du symbole Vinfini.
