Revenons à l'équation
et supposons que la valeur absolue du coeflicient a soit très-petite ; l'inconnue a:, donnée par la formule
sera très-grande en valeur absolue, et, si Ton conçoit que
CAS d'impossibilité. 129
la valeur absolue du coefficient a diminue jusqu'à zéro, la valeur absolue de x augmentera de manière à devenir plus grande que toute quantité donnée. Par exemple, si Ton donne au coeflScient a successivement les valeurs
lo' 100 looo' loooo'
le quotient x prendra les valeurs de plus en plus grandes loby loob, loooé, looooé,
Lorsqu'une quantité augmente ainsi de manière à devenir plus grande que toute quantité donnée, on dit qu'elle devient infinie et on la représente par le signe ©c, qui a la forme d'un huit renversé.
Quand Tune des inconnues d'un problème se présente sous cette forme, il y a évidemment impossibilité; car ce symbole provient de ce que, dans une équation telle que ax = 6, le coefficient a de l'inconnue est nul.
Reprenons le p^roblème du n° 105, dans le cas où les deux mobiles marchent de gauche à droite , le second allant plus vite que le premier. Si la différence des vitesses b — a est très-petite, les formules donneront pour les inconnues des valeurs positives très-grandes, ce qui indique que la rencontre aura lieu après un temps très-long, et en un point très-éloigné vers la droite. Et, en effet, le second mobile, marchant avec ime vitesse très-peu supérieure à celle du premier, ne l'atteindra qu'après un temps trèslong. Plus la différence des vitesses sera petite, plus le point de rencontre sera éloigné. Enfin, quand les vitesses deviennent égales, le point de rencontre s'éloigne à l'infini ; il y a impossibilité de satisfaire aux équations du problème, et, en effet, les deux mobiles^ marchant également vite, restent toujours à la même distance l'une de Tautre et ne se rencontrent jamais
180 LIVftE lî. — CHAP. tll.
Stip{k>90âd qtk^ )ê mtond coiifpief ttiftttte ttu pm maim vite qpe le pi^mief ^ les formulas donnent pwr les mcon* tïties des valeurs négatives trôs-grôiides eô vâletir absolue ; ce qui indique que là rencoïttre â eu liètt il y a trèsJoflgtemps, en un point situé très-loin vers la gauche. Plus la différence a — 6 des vitesses est petite^ plus ce point de rencontre est éloigné. Enfin, quand cette différence devient nulle, le point s^éloigïie à Tinfîni vers la gauche, et il y a impossibilité.
413. IlÈiJfARcrùÈ I. Dafts les cpiestiwis de géOiflétrie^ le syrùbdle Tinfini îndlqtie ordinaîi^ment le parallélisme de deux droites. Proposons-iïChis, par exemple, la qnestiOti suivante :
Étant donnés deux cercles^ on mène deux rayons parallèles AG, BD; on joint leurs extrémités; déterminer le point M où la droite CD rencontre la ligne des centres.
Appelons a et è les rayons de deux cercles, d la distance des centres AB, a? la distance inconnue AM. Les triangles semblables MAC , MBD , donnent la proportion
d'où Ton déduit
ad x=z
Quand la différence a — 6 des rayons est très*petite, la valeur de x est très-grande, et le point M très-éloigné. Si cette différence diminue jusqu'à zéro, le point M s'éloigne
0A9 D*lMPOSSfBlLlTÉ. iM
à rinfini, et la droite CD devient parallèle à la droite AB. On voit en effet que, lorsque les cercles sont égaux, la figure ABDG devient un parallélogramme. *
414. Remarque II. Les solutions négatives des équations ne sont pas toujours admissibles dans la résolution des problèmes. Souvent la question est de telle nature que les ii>connues doivent nécessairement être positivas; dans ce cas, si l'on trouve pour les inconnues des valeurs négatives, il y a impossibilité. Cette circonstance se présente dans la question suivante :
Avec deux vins qui coûtent b. eth centimes le litre ^ former d Ulres d*un méliange coûtant c centimes le litre.
Il est évident à priori que le prix c de chaque litre du mélange doit être intermédiaire entre les prix a et 6 de chaque litre des deux vins. Appelond a; et y les quantité» des deux vins qu'il faut mélanger, nous aurons les équations (n° 16) ,
ax 4- by = cd', d'où l'on déduit
La nature de la question exige évidemment que les deux inconnues aient des valeurs positives* Nous pouvons toujours supposer a plus grand que 6, c'est-à-dire appeler premier vin le plus cher. Dans les deux formules, le dénominateur étant positif, il est nécessaire que chacun des nu-^ mérateurs soit positif, ce qui aura lieu si les deux conditions
sont remplies. Ainsi, pour que la question admette une solution, il faut que le prix du litre du mélange soit intermédiaire entre les prix des deux vins.
Des cas d* indétermination.
115. Nous avons dit que Téquation du premier degré à une inconnue peut toujours se mettre sous la forme
et nous avons vu que, lorsque le coefficient a de l'inconnue est nul, sans que le second membre le soit, il y a impossibilité. Supposons maintenant que b soit nul en même temps que a, l'équation devient
il s'agit de trouver un nombre qui, multiplié par zéro, donne un produit égal à zéro ; tous les membres satisfont évidemment à l'équation, qui se réduit à une identité = 0, et la valeur de l'inconnue est indéterminée. Dans ce cas, la formule donne pour l'inconnue im symbole de la
forme — .
Exemples :
!• Trouver un nombre qui, augmenté de son sixième et de 10, et diminué de sa moitié, égale deux fois son tiers augmenté de 5. Si l'on appelle x ce nombre, on a l'équation
qui, simplifiée, se réduit à
ou
oXar = o.
Tous les nombres satisfont à la question. Il y a indétermination.
CAS d'indétermination. 13S
2» Trouver deux nombres tels que le tiers du premier . égale la moitié du second, moins i , et que le second égale les deux tiers du premier, plus 2. Si Ton appelle â? et y ces deux nombres, on a les deux équations
En substituant dans la première la valeur de y donnée par la seconde, on obtient le système équivalent
L'une des équations se réduisant à une identité, on n'a qu'une équation à deux inconnues; on peut donner à l'une des inconnues, à x par exemple, une valeur arbitraire, il en résulte pour y une valeur correspondante ; ainsi l'équation admet une infinité de solutions, et il y a encore indétermination.
S"" Résoudre les deux équations
4jj — ay = io, 6a? — fty = ao.
Si l'on multiplie la première équation par 2, on voit qu'elle devient exactement la même que la seconde ; ainsi es deux équations n'en font qu'une, et il y a indétermination. 4° Dans le problème des deux mobiles (n** 105), si l'on a
à la fois a=6, d = o, les trois formules deviennent -, et
il y a indétermination ; et en effet, les deux mobiles, étant ensemble et marchant avec la même vitesse, ne se quitteront jamais.
m UVftE II. — GHAF. IIL
5° Dans le problème du mélange (n° 114), si les trois «{uantités a, b^ c sont égales , les deux inconnues se pré-r
sentent sous la forme - , et les deux équations du problème
n'en font qu'une : il y a indétermination. Et, en effet, les prix des deux vins étant les mêmes, on obtiendra toujours un mélange de ce même prix, quelle que soit la proportion suivant laquelle on mélange les deux vins.
