CHAPITRE IV

FORMULES GÉNÉRALES POUR LA RÉSOLUTION DE DEUX ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX INCONNUES,

117. Deux équations du premier degré à deux inconnues peuvent toujours être mises sous la forme

(i) ax +by =c,

les lettres a, 6, c, a', 6', d désignant des quantités connues, positives ou négatives.

Si de la première équation on tire la valeur de y,

et qu'on la substitue dans la seconde, on obtient l'équation

, b'{c—ax) ,

qui se réduit à

(4) [aV—hd)x=cb'-'hc\

et où Ton déduit ^

cV—hd

En portant cette valeur dans l'équation (3), et simplifiant,

on trouve

ac'—ca!

Telles sont les formules générales au moyen desquelles

CAS d'impossibité. 137

on peut résoudre immédiatement un système quelconque de deux équations du premier degré à deux inconnues. Soient, par exemple, les deux équations

5x— 3y= 9, 7ar+iiy=43;

on fera a = 5,6 = — 3,a'=7,6'=ii,c = 9,c' = 43, et les formules donneront

it,=z=3, y=a.

118. Remarque. I. Il est facile de se rappeler la composition des formules

cb' — bc' ac' — ca'

^'^ab'—ba" ^"ab'—ba"

que nous venons de trouver.

Le dénominateur est le même. Les deux lettres a et 6, coefficients des inconnues, peuvent être disposées suivant les deux ordres a6 ou 6a; séparons ces deux expressions par le signe — , et accentuons la seconde lettre dans chacune d'elles, nous formerons le dénominateur

ab^ — ba\

Si, dans ce dénominateur, nous remplaçons les deux coefficients a et a' de l'inconnue x par les seconds membres c et c' des deux équations, nous formerons le premier numérateur cb' — bc'. Si, dans le dénominateur, nous remplaçons de même les coefficients 6 et b' de l'inconnue y par les seconds membres c et c' , nous formerons le second numérateur ac' — ca'.

En général, on obtient le numérateur d'une inconnue en remplaçant dans le dénominateur les coefficients de cette inconnue par les seconds membres correspondants.