Remarque II. Les deux formules ont entre elles

mue analogie qû'ii est bon de remarq^r M qui permet de déduire Tune de l'autre^ Â i4iispectt9ii êm àsax équations proposées, nous Yojom que la tettre a m lapporte à a?, de même que b k y. Si, dans ces équations, on permute les lettres a? et y, a et 6 (c'est-à-dire si Ton remplace x par y et y par a?, a par 6 et 6 par a) , les deux équations deviennent

et ne changent pas. Concevons que Ton répète sur ces deriHèree les calculs Mts précédeounent , il jmffira évidemment d'effectuer les mêmes permutations dauB ks résultai». Ainsi, au lieu d'arriver à la valeur jde jsc, on arrivera à celle de y; donc, si dans la formule (a), oo effectue la permutation, on aura

cd-^ad

ou , en changeant les signes du numérateur et du dénominateur,

ad — col

y "^ ab'—bd'

Cette valeur de y satisfait -au nouveau système d'équations, et par conséquent au système proposé qui est le même.

lâO. AppUquons aicore ces cimsidératians de symtétrîe

axax deux équations

auxquelles on est conduit en résolvant le proUëme du a* 1 1 4- Si , de la seconde , on retranche la premi^ , multîplîée par è, on trouve

d'où

ÉQUAT. GÉN. DU V DEGBÉ A MOI INCONNUES. 139

Oa voit que leB équâlions ne changent pas qiuind on y P^^ mute les lettres oî et y, a et i ,* en effectuant la permutation dans h vateur cte ^, on aura doni; immédiatement

Soient encwe les deux équations

bx '\'dy=i c.

En appliquant les deux formules générales, on trouve

c{a'—b) cla—b)

aa — 0^ Q,a — ô'

11 y a encore ici une certaine symétrie. Car, si l'on permute a: et y, a et a', les équations deviennent

a'y -{-bx^sit^ by '^ax^ae'^

h pr^BÛtoe «8t àmfeam k seconde , la seconde la première , mais le système n'a pas changé. Si donc on effectue daos la valeur de x la même permutation, oh trouvera y.

Discussion^

121. On appelle discusâon en algèbre l'examen des différents cas que peut présenter une question. En résolvant tes deux équations générales du second degré

il) ax + by = c,

U) otx + à'y = (fy

nous avons obtenu les deux formules

ci'— hc'

ah-^bd' ad — cd

Nous examinerons maintenant les principales circon-

Stances qui se rencontrent dans les valeurs des inconnues.

1*' CAS. En général, le dénominateur commun a6' — hc! n'est pas nul ; dans ce cas, les deux formules donnent pour a: et y des valeurs finies et déterminées ; il est aisé de voir que ces deux valeurs vérifient les équations proposées, et que les équations n'admettent aucune autre solution.

En effet, puisque la quantité aV — 6a' est différente de zéro, il est impossible que les quatre coefficients a, 6, a\ V des inconnues soient nuls en même temps ; deux au moins sont différents de zéro. Supposons, par exemple, que le coefficient h soit différent de zéro; on peut tirer de la première équation la valeur de y ,

c — ax

car il est permis de diviser par le coefficient 6, qui n'est ni nul ni infini. En portant cette valeur dans la seconde et multipliant par ft, ce qui est également permis, on obtient l'équation

(4) (ûô'— ba') X s= cb'— bc\

On remplace ainsi le système des deux équations proposées par le système équivalent des deux équations (3) et (4) .

La valeur de x fournie par la formule (a) satisfait évidemment à l'équation (4). L'équation (3) est aussi vérifiée; car si l'on remplace x par sa valeur, le second membre acquiert une valeur égale à la valeur de y fournit par la formule (P). 11 est impossible, d* ailleurs, de vérifier ces équations par d'autres valeurs de x et dey. On conclut de là que le système des équations proposées, qui est équivalent au système des équations (3) et (4) , est vérifié par les valeurs (a) et (P) , et n'admet aucune autre solution.

Ainsi, lorsque le dénominateur n est pas nul^ le système des deux équations proposées admet une solution et une seule.

ÉQUÂT. GÉN. DU T' DEGRÉ A DEUX INCONNUES. lAl

2* CAS. Voyons ce qui arrive lorsque le dénominateur est nul, et que l'un des numérateurs au moins n'est pas nul. Supposons, par exemple, que le premier numérateur c6' — 6c' soit diiTérenft du zéro, la valeur de x se présentera sous la forme oo ; dans ce cas il y a impossibilité. En effet, si cV — 6c' n'est pas nul, l'un des deux coefiScients 6 et 6' au moins est différent de zéro. Admettons, par exemple, que le coefficient 6 soit différent de zéro, on pourra résou^ dre, comme nous l'avons dit, la première équation par rapport à y, et remplacer le système des deux équations proposées par le système équivalent des deux équations (5) et (4)* Mais l'équation (4) est évidemment impossible; donc le système proposé est lui-même impossible. Dans ce cas, on dit que les deux équations proposées sont incompatibles, parce qu'on ne peut pas trouver de valeurs de x et de y qui vérifient à la fois les deux équations.

Ainsi, qaatid le dénominateur est nul et que tun des nth' mèrateurs ne l'est pas, il y a impossibililé.

Nous avons supposé a6' — ba' égal à zéro , et c6' — 6c' différent de zéro ; dans ce cas, la valeur de x se présente sous la forme oo ; l'autre inconnue y se présente généralement sous la même forme. En effet, si de l'égaUté

ab' — 6a' = o,

nh'

on tire a' = -r-, 6 étant supposé différent de zéro, et que Ton substitue dans ad — ca\ on a

k facteur cV-^^bd étant différent de zéro, le premier membre ad — ca' est aussi différent de zéro, à moins que le coefiicient a ne soit liul. Si le coefficient a était nul, l'in^