UVBE II. — CHAP. IT

connue y m prédent^ait, non pas sous la forme c» , mais

sous la forme -.

3* CAS. Snppposons maintenant que les deux numérateufs eb' — M, ae' — ca' soient nuls en même temps que le dénominateur. 11 pourrait arriver que les quatre coefficîenfel 09 ft, a'i y fussent nuls à la fois ; dans ce cas^ si les deux seconds membres t et d n'étaient pas nuls, il y aurait im* possibilité ; si les deux seconds memtHres étaient aussi nuls, les deux équations se réduiraient à àm^ identités, et il y aurait indétermination complète, puisqtie les deux inconnues, n'étant assujetties h aucune relation, pourreutent rece-' voir des valeurs entièrement arbitraires.

Ce cas très-exceptionnel étant écarté, supposons que Tuif au moins des coefTicients , b par exemple ^ ne soit pas nuL On peut tirer la valeur de y de la première équation, comme nous l'avons fait , et substituer dans la seconde, ce qui ramène le système des deux équations proposées au système équivalent des deux équations (3) et (4). L'équaticm (4) devient une identité oi=o, et les deux équations se réduisent aune seule équation (3). Il y a indétermination ; on peut donner à oo des valeurs arbitraires ; il en résulte pour y des valeurs correspondantes.

Ainsi, quand les deux numérateurs sont nuls en même temps que le dénominateur^ et que ïun des quatre coefficients au moins est différent de zèro^ il y a indétermination^ et tes deux équations nen font quune.

Remarquons que, dans le cas très-exceptionnel où les quatre coefficients des inconnues sont nuls, sans que les seconds membres le soient, les valeurs' données par les formules se

ptésentent toutes les deux sous la forme-, et cependant il

n'y a pas indétermination, il y a au contraire impossibilité.

ÉQUAT. GÉN. DU 1*' DEeRÊ A WCX INCONNUES. lit

Exemptes.

Question 1^ On connaît ks poiâi »pécifiqu€$ de deuûo mé" taux et ton demande dans quelle preporlion U fauX les mé* langer pour obtenir un alliage ayant un poids spécifique donné.

On sait que le poids spécifique d'un corps est le rapport du poids d'un volume quelconque de ce corps au poids d'un égal volume d'eau. En d'autres termes, si l'on prend pour unité de volume le décimètre cube, et pour unité de poids le kilogramme, comme on fait ordinairement dans les arts, on peut dire que le poids spécifique d'un corps est le poids en kilogrammes d'un décimètre cube de ce corps. D'un autre côté, on exprime la composition d'un alliage, en disant quel poids de chaque métal entre dans un kilogramme d'alliage.

Représentons par a et 6 les poids spécifiques des deux métaux, par c celui de l'alliage; et désignons par x et y les poids de ces deux métaux qui entrent dans un kilogramme d'alliage. .On aura d'abord l'équation

Cherchons maintenant le poids spécifique de l'alliage,

comme si la composition en était connue^ et exprimons

qu'il est bien égal à c, nous aurons la seconde équation

du problème. Le poids d'un corps est égal à son volume

multiplié par le poids spécifique, et réciproquement le

volume d'un corps est égal à son poids divisé par le poids

spécifique. Dans un kilogramme d'alliage il entre des poids

a: et y des deux métaux, les volumes occupés par ces deux

X y ^ poids sont exprimés par ~ et ^; et le volume d'un kilo-

sant toutefois que dans l'alliage des deux métaux il n'y ait ni contraction ni dilatation. Le poids spécifique de l'alliage , étant égal à son poids divisé par son volume « sera

Mais ce 'poi<k spécifique doit être égal à c; on a donc l'équation

Si l'on multiplie par le dénominateur — |- ^, cette équation devient

ou

ex , cy

bcx + cicy = ab.

Ainsi les deux équations du problème sont

bcX'\'acy:=:iab.

On en déduit

La nature d^ la question exige que les deux inconnues aient des valeurs positives. Soit a > 6 ; il faudra, pour que le problème soit possible, que l'on ait c> 6 et c< a, c'està-dire que le poids spécifique de l'alliage soit intermédiaire entre les poids spécifiques des deux métaux, ce qui est évident à priori.

Le problème de la couronne de Hiéron (n* 18) est une application des formules précédentes. Le poids spécifique de For est 19,26, celui de l'argent 10,47. ^^ couronne perd dans Feau 467 grammes, c'est le poids d'un égal volume d'eau; donc le poids spécifique de la couronne égale

^=,5,98. On fera

Question IL Résoudre le système des trois équations

ax-^by-\-ezz=k,

Si de la seconde on retranche la première multipliée par c, on a

(4) (« — c)x -f (6 — c)y=zk — c.

Si de la troisième on retranche la seconde multipliée par c, on a de même

(5) a{a — c)j7+ ô(ft— c)y = A(A — c).

Retranchons de l'équation (5) l'équation (4) multipliée par 6, il vient

(k^b){k-€) -(a-b)(a^cr

Une fois qu'on a trouvé la valeur de Tune des inconnues, il est facile d'en déduire les autres par des considérations de symétrie. On remarque, en effet, que les équations proposées ne changent pas lorsqu'on permute les deux lettres

o: et y, a et b. Si donc ou effectue cette penuutatiou d^ois la formule précédeute, on obtiendra la valeur de y»

De même, les équations ne changent pas lorsqu'on permute les deux lettres y et z^ h et c. Si donc» dans la valeur de y, on effectue cette perjnutation, on aura la valeur de z

(k-a){k-b) Question III. Résoudre le système des quatre équations

ax'\'by'\-cy ^ du=:kj a"« + à^M ^ch + d^u =3 k\ a^x -j- 6'y + ^'^ + ^*w = A:'.

Si de chacimo de ces équations, on retranche la jvrécédente multipliée par d, on obtient les trois équations

(a— d)ar + (è — d)y-\'(c — d)z = k'-^é,

a{a—'d)x + b(b — (/)y +c(c — d)z = ft(A: — d),

a^a—d)X'^b\b^d)y+e*(fi~d)szs:V(k—d).

Opérant de la môme manière sur ces trois équations^ retranchons de chacune d'elles la précédente muMplléepar |, nous obtiendrons les deux équations

(a — c)(a^d)x + {b'^e)ib^d)y = {k—c){k — d), a(tt — c){a — rf)a? + é(*~e)(*— (/)y=:A(A— c)(A— rf).

Si enfin de la dernière nous retranchons la précédente multiple par 6, nous aurcms

d'où

En permutant les lettres a et 6, puis les lettres 6 et c', puis c et d, on en déduit la valeur des autres inconnues

Ce — a){c— b) {c — dy Ik^a) (k -^b) (k -> c) ^'^{d^a)(d — b)(d-^c)*

Question IV. Résoudre le système des trois équations

On considérera dans ces trois équations les quantités

-, -, - comme étant les inconnues. En multipliant la pre- X y z

mière équation par a, la seconde par 6, la troisième par c,

ajoutant les deux dernières en retranchant la première, on

trouve

2bc

d*où

=zb^ + C^

2bc

Si l'on permute les lettres x et y^ a et b, on remarque que la première équation devient la seconde, la seconde la

première, et que la troisième reste la même; donc le système des trois équations ne change pas. Il en résulte que si, dans la valeur de x^ on effectue cette permutation, on aura la valeur de y

De même, si Ton permute les lettres y et js, 6 et c, la deuxième équation devient la troisième, la troisième la se conde, et la première reste la même ; le système ne change pas. De la valeur de y, on déduira donc celle de z par la permutation indiquée, ce qui donne

z 2ab