II 11 II
KiûbU la première rencontre aura lieU à 1^ &"" a^ et u&e fraction ^ de secondes
La deuxième re^icoutre liura lieu aprtB un temps égal, c'est-à-dire à S2^ 10°" -^ {^""1 la troisième» eûcora après ttn temps égal, ô'est-à^dire à 3*" i6~ + ^, etc. La oncièffîd rea- QOntreaura lieu à minuit, i^èê un iatenralle da ta hèurea«
15. Problème X. Le soleil s* àtance chaque jour de V ouest à Vest de 69' 8", 19, la lune <fe t5* iio' 34", 89. La lune est actuellement en conjonction avec le sokil. On détnûnàe ddhs combien de temps elle reviendra en conjonction.
On dit que la lune est en conjonCtioD avec te selett qUand
iimtowcmoii. 16
ces àeus astres sont en ligne droite avec k teit^ et A*\xtk même côté de la terre; c'est le m<mient de la nouvelle lune. Prenons pour unité de temps le jour et appelons x le temps tbtrÊl^i Bédaiaoïis lés aros eu lecondei» Le wcMi détrifaiit i6lk^\i^ pftr joitf^ déorirE 5&4a'S 1 9 x <8 en ^ j(mri( Ut lune décrivant 47454'\89 |)Ar joar^ décrira 474S4'SS9X9 secondes dans le même temps. Mais la lune, ayant ri^oint le soleil, à décrit dans le ciel une circonférence entière, c*est-à-dire â6o" ou 1296000*', plus l'arc décrit par le soleil. On a donc l'équation
47434^890: = i Ti^ooQ -f 3548^ 1 9».
Oa m déduit
3im ■y fcX^t - > Mb M^ 4il'*44« *%^t
Ce temps est ce qu'on appelle la durée de la révdutiott sy- Bodique de la lune, ou le mois lunaire*
l6. Paoii'ÈME XI. Combien fautai mélanger dé vin û 46 centimes le titre et devin à S3 eentinm fQur faire i &o litres de mélange à 4o centimes le litre?
Appelons x la quantité du premier vin qu'il &ut mettre dans le mélange; celle du second vin sera i5o — -âc.
Un litre du premier vin coûtant 4^ centimes, x litres coûteront 45^ centimes ; de même 1 5o — x litres du second vin coûteront 53 (i5o — x) centimes. Mais, puisqu'un Utre du mélange doit revenir i 4o centime» le litre, le mélange entier doit coûter 4o X i5o ou 6000**. On a donc l'équation
en prenant le centime potll' ûirité.
Multiplier 35 p^ i5a>*--â; revient b le TÙpAM i5é fois mAm sô foisi ce qi^ donne S2 x 1 60 dâ 49&o mo» iSà;. L'équation devient d^ùac
45*4*4950 i^-SS» i=Êi 6000;
16 INTllOD!Hn:iON.
d'où Ton déduit
X = = 87,5 litres.
En retranchant ce nombre de i5o, on a ce qu'il faut prendre du second vin. Ainsi on mélangera 87,5 litres du premier vin avec 62 ,5 du second.
17. Problème XIL On a un lingot d'argent pesant ifil^b grammes au titre 0,87. Combien faut-il y ajouter Sun second lingot au titre 0,96 pour en élever le titre à 0,90?
On appelle titre d'un lingot d'or ou d'argent le quantité d'or ou d'argent pur que renferme un gramme du lingot. Appelons x la quantité du second lingot qu'il faut ajouter au premier. Le lingot, formé de l'alliage des deux premiers, pèsera 1 245 + ^ grammes.
Un gramme du premier lingot contenant 0,87 d'argent pur, 1245 grammes contiendront 0,87 x i2A5 ou io83,i5. Un gramme du second lingot contenant 0,95 d'argent pur, X grammes en contiendront 0,95 x x. Mais le troisième lingot, pour être au titre 0,90 et peser 1 245 -j- ^ grammes, devra contenir 0,90(1245 + ^) d'argent pur. On a donc l'équation
io85,i5 -j- 0,95a: = 0,90 (1 245 -{- a:).
Si l'on multiplie par 100 les deux membres, l'équation
devient
io85i5 -\' g5x = go(i2^ -{- x)y
ou
io83i5 + qSx = 1 iao5o -f- 90a:.
On en déduit
X = 747 grammes.
18. Problèbie XIIL D'après Viiruve^ la couronne du roi Hiiron pesait 7465 grammes et perdait dans Veau Ifi-j grammes. On sait que ï or perd dans Veau les 5s millièmes de son poids f que V argent en perd les 95 millièmes, déterminer
les quantités d'or et émargent qui entrent dans la composition de la couronne.
On raconte que le roi Hiéron de Syracuse avait fait remettre à un orfèvre une certaine quantité d'or pour en faire une couronne. Le travail achevé, la couronne avait bien le poids voulu; mais le roi, soupçonnant Torfévre d'avoir gardé une partie de Tor et d'y avoir substitué un égal poidft d'argent, consulta Archimède sur le moyen de découvrir la fraude sans endommager la couronne. Un jour qu' Archimède était aux bains , la solution du problème se présenta tout à coup à son esprit. On dit que, transporté de joie, il s'élança hors du bain, et, oubliant qu'il était nu, traversa les rues de Syracuse en criant : J'ai trouvé, j'ai
trouvé (£'jp7)xa, eupTfixa).
Le moyen imaginé par Archimède repose sur ce principe de physique trouvé par lui, savoir, que tout corps plongé dans l'eau y perd une partie de son poids égal au poids du volume d'eau déplacé. Il consiste à déterminer par deux expériences préliminaires combien l'or, plongé dans l'eau, perd de son poids, et combien perd l'argent ; puis à déterminer de la même manière combien perd la couronne plongée dans l'eau et à comparer le résultat aux précédents.
Un gramme d'or perdant o,o52 dans l'eau, 7465 grammes d'or perdent o,o52X7465 ou 588, 18, Si la couronne était d'or pur, plongée dans l'eau, elle perdrait donc 388, 18; mais elle perd 467 grammes; ceci annonce qu'il entre dans sa composition un métal, comme l'argent, moins dense que l'or.
Appelons x la quantité d'argent introduite par Torfévre ; la quantité d'or sera 7465 — x. Un gramme d'argent perdant 0,095 dans l'eau, x grammes perdront 0,095 x. De même 7465 — a: grammes d'or perdront o,o52 (7465 — x). La perte éprouvée par les deux quantités d'or et d'argent
devant être égale à la perte 467 grammes éprouvée par la couronne (on suppose que F alliage des deux métaux a lieu sans contraction ni dilatation), on a T équation
o,o95ar -f o,o52 (74^5 ~ x) = 4^7.
En faisant la multiplication indiquée par la parenthèse , cette équation devient
0,0953: -f 588, 18 — o,o5aa:= 4^7^ 0,043^:= 78,8a, d'où Ton déduit
X = i853 grammes.
Ainsi r orfèvre avait substitué i835 grammes d'argent à un égal poids d'or.
19. Jusqu'ici nous n'avons résolu que des problèmes à une inconnue. Nous allons donner quelques exemples de problèmes à plusieurs inconnues.
Problème XIV. Pour payer ses ouvriers sur le pied de 3 francs chacun^ il manque 8 francs à celui qui les fait travailler. Mais s il ne leur donnait que 2 francs chacun^ il lui resterait 3 francs. Quelle est la somme d'argent et le nombre des ouvriers ?
Désignons par x le nombre des ouvriers et par y la somme d'argent. Pour donner 3 francs à chacun, il faudrait ox francs; mais comme il manque 8 francs, on a l'équation
Pour donner 2 francs à chacun, il faut 9x francs, etconmie il reste 3 francs, on a l'équation
On a ainsi deux équations à deux inconnues. Si , dans la seconde équation , nous remplaçons y par la
IKTKODUGTmi». 19
quantité ég^ie 8â5---8 dOBoé^par Ja preiQiëi:^, nous obtenons une équation à une seule inconnue
de laquelle nous déduisons, en 1^ résolvant par le procédé ordinaire
or = II.
Une fois la valeur de x trouvée, on obtient celle de y en remplaçant x par sa valeur 1 1 dans Tune des deux premières équations, ce cpii donne
Ainsi il y a 11 ouvriers, et la somme d'argent est 25 francs.
20. Problème XV. Deux sources, qui coulent uniformément^ ont rempli ensemble un réservoir de \% mètres cubes ^ en coulant Tune pendant 7 heures, Vautre pendant fi heures. Les deux mêmes sources ont rempli un second réservoir de 22 mètres cubes, Ici première coulant pendant 3 heures, lOi. seconde pendant 5 heures. On demande quelle est la dépense de chacune de ces source!^.
Prenons pour unité de volume le mètre cube et appelons x et y les volumes d'eau que fournissent les deux sources par heure. La quantité d'eau versée par la première en 7 heures est jx, celle versée par la seconde en 2 heures est 2j/.; le premier réservoir ayant été rempli de cette manière , on a
l'équation
7* + ay = 18.
De même 5x et 5j/ sont les quantités d'eau versées par les deux sources en 3 heures et en 5 heures ; le second réservoir ayant été rempli de cette façon, on a la seconde équation
Pour résoudre ces deux équations, tirons de la première la
valeur de y , . comme si x était connue, ce qui donne
18 — yx
et substituons cette valeur à la place de y dans la seconde équation , nous aurons l'équation
Zx+5 (^— 2"^) =22,
qui ne renferme plus qu'une seule inconnue x.
Si Ton multiplie par 5 le numérateur de la fraction, cette équation devient
Zx 4- = 22;
en chassant le dénominateur et résolvant, on trouve
Pour avoir ensuite la valeur de y , on remplacera x par sa valeur — dans l'équation
ce qui donne
On vérifierait que les nombres fractionnaires — et —,
mis à la place de a; et de y satisfont bien aux deux équatiœs
du problème. Si Ton réduit en décimales, on trouve que les
deux sources dépensent par heure, la première 1 588 litres,
la seconde 5448 litres, en négligeant les fractions de litre.
Résolution de deux équations à deux inconnues.
21. Remarquons la méthode que nous avons suivie pour résoudre deux équations à deux inconnues. Nous avons tiré
de Tune des équations la valeur de Tune des inconnues, par exemple de y, comme si l'autre x était connue, et nous avons substitué cette valeur dans T autre équation; nous avons obtenu de la sorte une équation à une seule inconnue x^ que nous avons résolue par le procédé ordinaire.
Appliquons encore cette méthode à quelques exemples. Soient les deux équations
De la première, en faisant passer le terme 3y dans le second membre, le terme i4 dans le premier, et divisant par 5 on tire
Susbtituons cette valeur à la place de y dans la seconde équation, nous aurons l'équation à une inconnue
, ^Sx — 14
Ici le diviseur 3 disparait, à cause du multiplicateur 6, et l'équation devient
•px + ^{5x — 14) = 40, ou
yx -f- ïox — 28 = 405
d'où
En portant cette valeur de x dans l'équation
on trouve
22 INTRObUCTlON.
Vérificalion. Cts ddux valeurs 4 et 2, mises à la place de X et de j, rendent les deux premiers membres des équations proposées égaux respectivement à 14 et à 4o, et les équations sont satisfaites.
Soient eiicore les dieii^ équations
i3j? — 9y = 17, lia? — i5y = 7.
De la première, résolue par rapport à y, nous tirons
idX — 17
Si, rffin d'éviter le signe — devant le terme en y dans la seconde équation , on fait passer ce terme dans le second membre, cette équation devient
iix = 7+ i5^j
en subtituant à la place de y sa valeur déduite de la première équation , on a
On peut simplifier en divisant par 3 le numérateur et le dénominateur de la fraction, ce qui donne
5(i3x— 17) iix = 7 H 3 ^,
ou
lia: = 7-1 .
Multiplions par 3, T équation devient
33a; = 21 +65x— 85; d'où Ton tire
UTTRODOCnON. 23
Cette valeur, portée dans Féquation
iZx — 17
donne
Nous verrons plus tard que la précaution que nous avons prise de faire passer le terme t5y dans le second membre, afin d'éviter le isigne — , n'est pas nécessaire.
22. Problème XVI. On a formé trois mélanges de froment^ de seigle et d'orge. Le premier contient i o mesures de froment^ 3o de seigle et 20 d'orge; il revient à 23o francs. Le second contient 12 mesures de froment , ih de seigle^ et 6 d'orge; il revient à i38 francs. Le troisième contient 4 mesures de froment j 10 de seigle et 5 d'orge, et revient à 75 francs. Quel est le prix de la mesure de-froment^ de seigle et d*orge?
Appelons a?, y, z le prix d'une mesure de chaque denrée. Due mesure de froment valant x francs, lo mesures vaudront 10 fois plus, c'est-à-dire iooî; ainsi la quantité de froment contenue dans le premier mélange coûtera loa?; de même la quantité de seigle coûtera Soy, la quantité d'orge 2oz; comme le mélange coûte 2 3o francs, on a l'équation
10^4- 5oy 4" 20Z = 23o.
On obtiendra de même les équations
12X -|- i5y + 6z = i38, ^x -{- ioy-\- 5z = 75.
Nous remarquons d'abord que l'on peut simplifier la première équation en divisant tous ses termes par lo, et la seconde en divisant tous ses termes par 3, de sorte que ces trois équations s'écrivent
£{X + loy 4- 5z = 75.
Il S* agît de résoudre ces trois éqnations à trois inconnues. * La méthode est la même que celle que nous avons suivie pour deux équations à deux inconnues. De la première équation résolue par rapport à x^ comme si Ton connaissait y et z, on tire
Si nous mettons à la place de x cette valeur dans les deux autres équations, nous obtiendrons deux équations à deux inconnues
4(23 — 3y— -2z)+ 5^ + 2Z=46, 4(25 — 3y — 2z) + io?/-|-5z = 75.
Ces équations, simplifiées, s'écrivent
De la dernière, nous tirons
substituant dans la précédente, nous avons une équation à une inconnue
plus simplement
7y + 2(17 — 2y)==46; d'où
En portant cette valeur de y dans T équation
^__ 17— ay
on trouve
En portant ces valeurs de y et de js dans Téquation
a;== 23 — Zy — 22, on trouve enfin
Ainsi la mesure de froment coûte 5 francs, celle de seigle 4 francs, celle d'orge 3 francs.
Emploi des lettres comme moyen de généralisation.
23. Nous avons expliqué la formation d'une écriture abrégée qui facilite beaucoup le raisonnement et qui constitue, en quelque sorte, la langue des mathématiques. Elle présente un autre avantage non moins important, qui est de généraliser la résolution des problèmes. Il suffit, pour cela, de représenter par des lettres, non- seulement les quantités inconnues , mais encore les quantités connues , et nous avons déjà dit qu'afin d'éviter la confusion on se sert des premières lettres de l'alphabet pour les quantités connues, des dernières pour les quantités inconnues. De cette manière les raisonnements porteront non plus sur des nombres particuliers, mais sur des quantités quelconques, et l'on résoudra ainsi, à la fois, toutes les questions de même espèce. Quelcpies exemples feront bien comprendre cette nouvelle propriété de l'algèbre.
24. Reprenons le problème I. Partager 5o francs entre trois personnes , de manière que la première ait 6 francs de plus que la seconde, la seconde 4 francs de plus que la troisième.
Nommant x la troisième part, nous avons dit que les deux autres parts sont exprimées par a;+4eta; + 4 + 6; écrivant que la somme des trois parts est égale à 5o, nous avons obtenu l'équation
3ar + i4= 5o, cpie nous avons résolue, et d'où nous avons déduit
26 INTRODUCtlON.
Si l'on change les liombres qui entrent dans l'énoncé du problème, si Ton demande, par exetnple, de partager 64 francs entre trois personnes, de manière que la première ait 5 francs de plus que la seconde, la seconde 7 francs de plus que la troisième, il est clair qu'il faudra recommencer exactement les mêmes raisonnements.
Ainsi, nommant la troisième part a?,
la seconde sera ^ + 7»
la première x 4- 7 + 5*
Écrivant que la somme de trois parts est égale au nombre à partager 64, on aura l'équation
que l'on résoudra de la même manière, et d'où l'on déduira
On a dû naturellement se demander si l'on ne pourrait pas résoudre à la fois toutœ les questi(Mis de ce genre , de manière qu'on ne fût pas obligé de recommencer les mêmes raisonnements dans chaque exemple particulier. Or ceci est bien facile. Représentons par la lettre a la somme à partager, par b l'excès de la première part sur la seconde, par c l'excès de la seconde sur la troisième et raisonnons sur ces lettres comme sur des nombres donnés.
Nommant la troisième part ^,
la seconde sera ^ + c,
la première a? + c + 6.
Écrivant que la somme des trois parts est égale au nombre à partager a, nous aurons l'équation
3j? -f- 2C 4~ Ô = tt.
Retranchons des deux membres les quantités 6 et 2c, l'équation devient
divisant par 3, nous trouvons
C'est là ce qu'on appelle une formule. Elle indique quelles opérations il faut effectuer sur les quantités connues pour en déduire la valeur de Tinconnue. Cette formule dit que pour trouver la troisième part, il faut, du nombre à partager a, retrancher l'excès h de la première part sur la seconde et deux fois l'excès c de la seconde sur la troisième, puis diviser le résultat par 3.
Quand on veut appliquer à un exemple, on remplace dans la formule les lettres par leurs valeurs particulières et l'on effectue les calculs. Ainsi, dans le premier exemple, on fera a = 5o, 6 = 6, c = 4 ; l^i formule donne
d'où, en effectuant les calculs,
C'est bien la valeur trouvée directement.
'25. Généralisons de la même manière le problème VIll, et pour cela représentons par a la distance des deux villes, par b la vitesse du premier courrier, c'est-à-dire le nombre de lieues qu'il parcourt en une heure, par c la vitesse du second. Nous prendrons encore pour inconnue le temps pendant lequel marchent les deux courriers jusqu'à leur rencontre. Nommons x cç temps. Le premier courrier, faisant b lieues à l'heure, parcourra en a? heures 6a; lieues ; le second, faisant c lieues à l'heure, parcourra, dans le même temps, ex lieues. Mais la sonune des chemins parcourus par les deux courriers doit être égale à la distance totale a lieues. Nous avons donc Téquation
ôx -~\- cj- ^=^ a; ■
que Ton peut écrire
la parenthèse indiquant que la quantité 6 + ^ ®st multipliée par X. En divisant les deux membres de l'équation par
6 + ^» on a
Cette formule dit que, pour trouver après combien d'heures a lieu la rencontre, il faut diviser la distance des deux points de départ par la somme des chemins que parcourent les deux courriers en une heure.
On appliquera à l'exemple considéré, en faisant a= loo, 6 = 3, c = 2, ce qui donne
100 lOO
26. Généralisons encore le problème VII, que nous poserons ainsi : l'âge d'un père est a années, l'âge du fils 6. Dans combien de temps l'âge du père sera-t-il n.fois l'âge du fils?
Désignons par x le nombre d'années cherché. Après ce temps l'âge du père sera a -\-x^ l'âge du fils 6 + x. Gomme l'âge du père doit être n fois l'âge du fils, on a l'équation
a -\- X =:[b-\'X)Xny ou
a -{- x = nb-\- nx.
Par la transposition des termes, cette équation devient
a — nb = nx — x^ ou
a — nb = xx[n — i); d'où l'on déduit
a^^nb
Si l'on applique à l'exemple considéré, on fera = 40,
6 = 10, n = 5 ; la formule donne
4o — ioX3 4a — 3o ^ a? = — = = = 5.
27. Cette introduction suffit, je pense, pour faire comprendre au lecteur le but de l'algèbre, et lui donner une idée de la méthode à laquelle les mathématiciens ont donné le nom d* analyse. Elle offre d'ailleurs l'avantage de mettre les commençants en état de résoudre immédiatement un grand nombre de questions ; nous en proposons ici quelques-unes comme exercices. Nous allons maintenant revenir sur nos pas et exposer en détail et avec ordre le mécanisme du calcul algébrique.
Bxereiee*.
Problème I. Trois personnes ont ensemble 112 ans; la deuxième a 8 ans de plus que la plus jeune; la troisième a autant que les d<iux autres. Quel est rage de chacune d^elleaP
Réponse» La plus jeune a 24 ans, la deuxième 32, la troisième 56.
Problème II. Faire 53 francs avec 16 pièces de 2 et de 5 francs. Bjéponse. On prendra 9 pièces de 2 francs et 7 de ô francs.
Problème III. Un homme, en arrivant à Paris, a dépensé le premier jour le i de son argent, le second jour le { du reste ; il n'a plus alors que 48 francs. Combien avait-il d'argent?
Béponse, 120 francs.
Problème IV. Quelle est la fraction telle que^ si Ton ajoute 1 à son numérateur, elle devienne égale à | et si Ton ajoute 1 à son dénominateur, elle devient égale à ^ ?
Réponse, -fs.
Problème V. Un bassin est alimenté par deux tuyaux de conduite. Dans une première expérience, le premier ayant été ouvert pendant 4 heures, le second pendant 5 heures, on a obtenu 40 n^ètres cubes d'eau. Dans une seconde expérience, le premier ayant été ouvert pendant 6 heures^ le second pendant 3 heures et demie, on a obtenu 50 mètres cubes. Quelle est la quantité d'eau que chaque tuyau fournit en une heure?
Réponse, Le premier tuyau dépense G875 litres d'eau par heure, le second 2500.
Problème VI. Une personne a des jetons dans ses deux mains ; si elle en passe un de la droite dans la gauche, il y en a autant dans les deux mains;
mais si elle en passe un de la gauche dans la droite, c^Ue-ci «q coqtieiît Ip doul>le.
Réponse. La main droite contient 7 jetons, la gauche 5.
Problème VII. Une personne a décidé dans son testament que sa fortune serait distribuée entre quatre personnes, de manière que la deuxième ait deux fois autant que la première, la troisième autant que les deux premières et la quatrième autant que la deuxième et la troisième. La fortune totale s'élève à 11 000 francs. Quelle est la part de chacune d'elles?
Réponse. La première aura 1000 francs, la deuxième 2000, la troisième 3000 et la quatrième ^0.
Problème VIII. Trouver le nombre dont le double ajouté à %i gurpass^ 80 autant que 100 surpasse ce nombre.
Réponse. 52.
Problème IX. Partager 75 en deux parties telles, qae 3 fois la plus grande surpasse 7 fois la plus petite de 15.
Réponse. Ces deux parties sont 54 et 2 1 .
Problème X. De deux tonneaux égaux, après avoir tiré de Tun 45 litres et de l'autre 150, il reste deux fois plus de vin dans le premier que dans le second. Combien chaque tonneau contenait-il de litres?
Réponse. 255 litres.
Problème XL Un maître, ayant proposé 12 problèmes à son élève, convient de lui donner 25 centimes pour chaque problème résolu, à la condition qtre Télèvc payera 10 centimes pour chaque problème non résolu. Le compte fait, le maître doit à l'élève 1 franc 25 centimes. Combien celui-ci a-t-il résolu de problèmes ? •
Réponse, L'élève a résolu 7 problèmes.
