CHAPITRE V

FORMULES GÉNÉRALES POUR LA RÉSOLUTION DE TROIS ÉQUATIONS DU PREBUER DEGRÉ A TROIS INCONNUES.

122. Trois équations du premier degré à trois inconnues peuvent toujours être mises sous la forme

(i) ax-\'by-{'Cz = d,

(a) afx + l/y + (fz = d'y

(5) arx + b"y + c''z = dr.

Nous résoudrons ces trois équations par une méthode plus rapide et plus élégante que la méthode de substitution. Multiplions les deux premières équations par deux quantités indéterminées m et n ; ajoutons ces deux équations et retranchons la troisième, nous aurons

(4) ((rni + o'n— o'Oar+^im + i'n — 6% + [cm-\'c!n—(f')z = dm + d!n'^d\

Les deux multiplicateurs m et n étant arbitraires, on peut en disposer de manière à annuler deux coefficients de Téquation (4), par exemple les coefficients de y et dez. Posons donc

(6) cm'\'C'n=:, c%

l'équation (4) devient

[am + dn — o")x = dm -|- d'n — d"'y

d'où

dm + d 'n — d"

Des deux équations (5) et (6), résolues au moyen des formules générales, on déduit

^ c'b"^by hc"—ch"

""'- bc'-cU ' ''- bc'^cb''

en substituant ces valeurs dans la formule (7), et multipliant le numérateur et le dénominateur par hd — cb\ on a

d {db"-^ Vc") + d'[bc"^ cb"]^d"[bc'—cb')

a [c'b"--' b'c") + a' [bd'— cb") — a" (bd— cb') '

Changeons les signes du numérateur et du dénominateur, la valeur de x s'écrit

d Wd'— db") + d' [cb"^ bd'] -{- d"[bd— cV) ^ — a (6'c"— c'b") + d [cb" — bd') +a" [bd - cby

et, en développant les calculs,

^ dbY— d€'b" + cdy-- bd'd' -f bdd"— cb'd" '"^* ^"" ab'c" — adb" + ca'b"—ba'd'+ bda"—cbV''

123. Remarque \, On pourrait calculer de la même manière les valeurs de y et de z. Mais il est plus simple de les

déduire de celle de œ par des considérations de symétrie. Sur un cercle, et aux sommets d'un triangle équilatéral inscrit, plaçons les trois lettres a?, y, z, ainsi que les trois lettres a, 6, c; imaginons ensuite que le cercle tourne autour de son centre dans un seas convenable d'un tiers de circonférence, la lettre y prendra la place de 0?, z celle de y, a? celle de z ; de même les lettres 6, c, a