ÉQUAT. GÉN. OU 1*' DEGRÉ A TROIS INCONNUES

prendront la place des lettres a, 6, c. Ce changement dans Tordre des lettres s'appelle une permutation circulaire.

Si Ton opère une semblable permutation sur les équations proposées» elles deviennent

by -{- cz -^ ax =:z dy

b'y -^cZ'\'a'x=^d\

Wy + c"z + a"x = d\

et ne changent pas ; les valeurs des inconnues restent donc les mêmes. Or, si Ton elïectue la permutation circulaire sur la valeur de x trouvée précédemment, on obtient

dda"-^ddc"-\- ad'c"'^cd'a"-\- ca'd''—ac'd" ^^^ ^~ bc'a"—bà!(/'-^ab'c"—cb'ar'\-c(i:b"—ac'b"'

Cette valeur de y satisfait au second Système d'équations et par conséquent au système proposé.

Si l'on effectue sur le second système d'équations une nouvelle permutation circulaire, le système ne change pas, et la valeur de y devient

d(jlb"--db'a"-^hd'a'^adV'-\-ab'd"'-'ba!d"

^i^ co{b"-^cb'a" J^bdo!'—ac'b" + ab'c"— hdc"'

En permutant une troisième fois, on retrouverait la valeur de X et ainsi de suite.

124. Remarque IL A l'inspection des formules (a) , (P) , (y), on reconnaît que le dénominateur est le même; l'ordre ■ des termes seulement a été changé. On voit aussi que l'on forme le numérateur de x^ en remplaçant dans le dénominateur les coefficients a, o', a" de l'inconnue x par les seconds membres d, d', d". Les numérateurs de j/ et :5 s'obtiennent de la môme manière. Il suffit donc de savoir trouver le dénominateur.

Nous avons formé le dénominateur pour deux inconnues, en écrivant les deux permutations

aby — ba

des deux lettes a et 6, et affectant la seconde du signe — . Dans chacune de ces permutations, mettons la troisième lettre c à toutes les places, à la fin, au milieu, et au commencement, et alternons les signes, nous obtiendrons les

deux groupes

abc — ttcô + ^^* — bac -f- bca — cba.

Le premier terme de chaque groupe a le signe du terme qui Ta fourni.

Écrivons ces deux groupes l'un à la suite de l'autre, et dans chaque terme affectons la seconde lettre d'un accent, la troisième de deux accents, nous aurons aussi le dénominateur commun

aVc''— ac'b" + cdb"-^ baie" + bc'a"— cUa".

Discussion,

125. En résolvant par un procédé particulier les trois équations

(i) ax -[-iy -{-cz^^d,

nous avons obtenu les formules (a), (P), (y). Ces formules présentent les mêmes cas principaux que celles relatives à deux équations à deux inconnues. Pour abréger l'écriture, nous représenterons par I) le dénominateur commun; et par A, B, C les trois numérateurs, de manière à écrire les formules sous la forme

ÉQUAT. GÉN. DU i^' DKGRI-: A TROIS INCONNUES. 153

1*' Cas. En général le dénominateur commun D n'est pas nul. Dans ce cas, les formules donnent pour les inconnues des valeurs finies et déterminées; il est aisé de voir que ces valeurs vérifient les équations proposées et que ces équations n admettent pas d'autre solution.

Puisque le dénominateur D est différent de zéro, il est impossible que les neuf coefficients des inconnues dans les équations soient nuls à la fois; trois au moins seront différents de zéro; supposons, par exemple, que le coefficient c soit différent de zéro. On pourra de la première équation tirer la valeur

,,, d — ax — by

et la porter dans les deux autres, ce qui donne les deux équations

(5) [ac'-- ca!) x + [bd-^ cb')y = dd— cd\

[ac"—co:'^^x-\- [bd'-^ cb")y dd'— cd' c c '

et l'on remplace ainsi le système des trois équations proposées par le système équivalent des trois équations (4), (5), (6). Si l'on applique aux deux équations (5) et (6) les formules relatives à deux équations à deux inconnues, on obtient les valeurs

données par les formules (a) et (P). Le dénominateur D étant différent de zéro, on sait que ces valeurs vérifient les deux équations (5) et (6). Si dans l'équation (4) on remplace X et y par leurs valeurs, on obtient la valeur de z donnée par la formule (7) . Ainsi, les valeurs fournies par les formules (a) , (^) , (y) vérifient le système des trois équa-

tîons (4) , (5) , (6) , et par suite le système proposé équivalent, et ce système n'admet pas d'autre solution.

2* Cas. Supposons que le dénominateur D soit nul^ Tun des numérateurs au moins, par exemple le numérateur Aj étant différent de zéro. Chacun des termes de A renfermant les lettres 6 et c, il est impossible que les six coefficients 6, b\ V\ c, c', c" soient nuls à la fois; deux au moins sont différents de zéro ; admettons par exemple que le coefficient e soit différent de zéro. On pourra tirer de l'équation (i) la valeur de «, comme nous l'avons fait, et remplacer le sys^ tème des équations proposées par le système équivalent des équations (4) , (5) , (6) . Si l'on considère les deux équations (5) et (6) à deux inconnues x et y, puisque le dénominateur D est nul, l'un des numérateurs A étant différent de zéro, il y a impossibilité; donc aussi les équations proposées sont incompatibles.

3* Cas. Supposons que les trois numérateurs A, B, G soient nuls, en même temps que le dénominateur D. Il pourrait arriver que les neuf coefficients des inconnues fussent nuls à la fois; dans ce cas, il y aurait impossibilité, à moins que les trois seconds membres d, d', d" ne fussent aussi nuls, et alors, les trois équations se réduisant à des identités, il y aurait indétermination absolue, et l'on pourrait donner aux trois inconnues des valeurs tout à fait arbitraires.

Ce cas très-e:^ceptionnel étant écarté, supposons que l'un au moins des neuf coefficients soit différent de zéro, par exemple le coefficient c; on poiura de l'équation (1) tirer la valeur de z et remplacer le système des équations proposées par le système équivalent des équations (4) , (5) , (6) . Il pourrait arriver que les quatre coefficients des inconnues x et y dans les deux équations (5) et (6) fussent nuls à la fois, ce qui annulerait D, ainsi que A et B; il est aisé de voir que le troisième numérateur G serait aussi pul; on a, en effets

ÉQUAT. GÉPf. DU 1*' DEGRÉ A TROIS INCONNUES. 156

C = (a'ô"— Va")d + [ba"—a¥) d' + (aV— ba!)d'';

si Ton avait

ac'-^caf^ 0, bc' — cy= o, ac"—ca''= 0, bc''^ cb"= o,

on en déduirait, en divisant par c,

, ad bd

d'où

aV — ô V' = 0, ba" — aô" = o, ah'— ha'= o,

et par suite C = o. Dans ce cas, les deux équations (5) et (6) seraient impossibles, à moins que les deux seconds membres dd — cd\ dd' — cd" ne fussent aussi nuls , et alors ces deux équations deviendraient des identités et les trois équations proposées se réduiraient à une icule, l'équation (4) ; on pourrait prendre arbitrairement les valeurs des deux inconnues x et y, la valeur de z en résulterait.

Ce cas exceptionnel étant écarté encore, supposons que, l'un au moins des quatre coefficients des inconnues dans les équations (5) et (6) soit différent de zéro. Le dénominateur D étant nul, ainsi que les deux numérateurs A et B, on sait que les deux équations (5) et (6) se réduisent à une seule. Les trois équations proposées se réduisent donc à deux, savoir les équations (4) et (5) ; il y a indétermination ; on peut prendre arbitrairement la valeur de x; celles de y et de z en résultent.

£jLoreices Mur le Livre 11.

Question 1. Résoudre le système des trois équations

2a; + ly — 3jJ = 2Î , Ax^2y -\- S%= 18, 6aj 4- 7y — Jï = 63.

Réponse: a? = 3, y^'Jj ;ï = 4.

Question 11. Résoudre les trois équations.

Réponse: « = -, y=-, , = -.

Question III. Résoudre les trois équations

X il X

4 + 1+6 = ^^- Réponse : «=12, y = 60, x = 60.

Question IV. Résoudre les quatre équations

4a; — 3y -î- 2u = 7, 2x + ex = 28, 4u — 2y = ià, 3» H- 4tt = 26.

Réponse: a? = 2, y = 3, x=4, u=.5.

Question V. Résoudre les quatre équations

af— y-j-jsf — u = — 2, y — 2x + 3tt — 4a; = 4, JJf — 3tt H- 6a: — 15y = — 33.

u — 4« + lOy — 20jr = — 40.

Réponse: a; = i, y = 2, jr= 3, i* =4.

Question VI. Résoudre les trois équations

y-hb(X+a;)=p,

ilcDonw • X = (i-»>g)«+a(c-<)P + a(&-l)Y ^ ^ * 1 — 5c— co — a5 H-2a6c

Question VII. Résoudre les trois équations

« + ay + a*J» + û' = 0»

a? + 6y + 6*^ + b« = 0, aî + cy H- c'jsf + c» = 0.

Béponse :

y = hc i- ca -\- àbf

« = — ahc.

Question VIII. Résoudre les quatre équations

« + ay + o*/* + a*u + o* = 0, « + &y + b'jr + b»u + &* = 0, op + cy + c«x + ch* + c* = 0, « + dy + d*jr H- dHi + d* — 0.

uz=:'^{a + b-{-e-\-d),

X = 06 + oc + ad + &c + 6d 4- cd,

y = — (ode + 6cd + cdo + do&j,

Question IX. Résoudre les équations

Répante:

a? + oy H- &jf = a , y-H ajr + &a;=p, jT 4- aa; + 6y = Y.

Question X. Résoudre les équations

ic + oy = a, y + 6jr = p,

t + du = 6,

Question XI. Résoudre les équations nkn inconnues

«i+^ + 3af,4- . • . +w«ii 5=04, a^ + 2aPs + 4a?4+ . . . + na?i =«,,

Question XII. En alliant deux lingots d'argent dans des rapports donnés, on a formé deux nonyeaux lingots dont les titres sont connus. Quels sont les titres des deux premiers lingots ?

En appelant o et 1 — o les poids des deux lingots qui entrent dans un kilogramme du premier alliage, o' et l — o' les poids des deux lingots qui

entrent dans un kilogramme du second alliage, b eih' les titres des deux alliages, a; et v 1^^ titres des deux lingots, on a les équations

d'où l'on déduit

aa;H-(l — a)y = b, û'« + (l-a')y=5';

(l-aOb-(l-a)b^

SR ^Z^m ——■—**—*■ ■■■■■ ■ ■ I ■■JM*»*— ^Mii—

a— a' ah' — ba'

Question XIII. Connaissant la composition et les prix de trois mélanges formés de trois substwces différentes, trouver les prix de ces trois substances.

Question XIY. Trois joueurs couTiennent que le perdant doublera l'argent des deux autres. Us perdent chacun me partie, et à la fin ils ont chacun la même somme a. Combien chacun avait- il au commencement?

„. 13a la 4ût

Réponse: ---, -~, •— .

Question XV. Même question étendue à un nombre quelconque n de joueurs.

Réponse :

Question XVI. On partage une certaine somme entre plusieurs personnes de la manière suivante : la première prend une somme a et la n« partie de ce qui reste; la deuxième une somme 2a et la n« partie de ce qui reste; la troisième une somme 3a et la n« partie de ce qui reste^ et ainsi de suite. Il se trouve à la fin que la somme d'argent a été partagée exactement et que toutes les parts sont égales. On demande quel est le nombre des personnes et la part de chacune.

Réponse : Le nombre des personnes est n — 1 ; la part de chacun a (n— l), et la somme totale a (n — 1)*.

Question XVII. Un tonneau contient a litres de vin. On tire un litre que Ton remplace par un litre d'eau ; on tire un second litre que Ton remplace par un litre d'eau, et ainsi de suite. Quelle quantité de vin contiendra encore le tonneau après n opérations de ce genre ?

Réponse: -^^j^^^.

Question XVIIL Deux vases de capacités données contiennent chacun un mélanga connu d'eau et de vin. Quelle capacité doivent avoir deux vases

égaux, pour que, les remplissant à la fois, Tun dans Tud des vases donnés, l'autre dans Tautre, et versant dans chacun d'eux ce qui a été pris dans l'autre, la proportion du mélange devienne la même dans les deux vases ?

Question XIX. Inscrire dans un triatigle donné un rectangle semblable à un rectangle donné.

Question XX. I>an8 m tiiaagle éonné iosortars ua reclanglè de périmètre donné.

Question XXI. Un groupe de n joueurs jouent de la manière suivante: le premier joue avec le deuxième et perd une fraction a de ce qu'il a; le second joue ensuite avec le troisième, et perd la même fraction a de ce quHl a en ce moment, et ainsi de suite; enfin, le dernier joue avec le premier et perd la fraction a de ce qu'il a. A la fin du jeu, les joueurs ont la même somme h. Quelle somme chacun avait-il au commencement?

Question XXII. Résoudre les équations

a — ah — a c — a

Question. XXlIl Couper une sphère donnée par un plan, de manière que la surface de la calotte tpliériq«e soit égale à la surface latérale du «due qui a pour sommet le centre de la sphère et pour base le cercle déterminé paf le plan sécant.