GARHÉ ET RACINE CARRÉE
Si Ton multiplie le produit abc par lui-même, d'après la règle de la multiplication des monômes, on trouve en effet
{abcY=a^*c\
Corollaire. On élève au carré un monôme entier^ en élevant le coefficient au carré et doublant tous les exposants* Soit, par exemple, le monôme ya^b^c ; en le multipliant par lui-même, on a
128. Théorème 111. Réciproquement, on extrait la racine carrée d'un produit de plusieurs facteurs en extrayant la racine carrée de chaque facteur séparément.
Soit le produit abc. Je dis que
sjahc= ^a^b^c.
En effet, si Ton élève le second membre au carré, ce que Ton fait en élevant chaque facteur séparément au carré, on reproduit la quaniité abc.
129. Corollaire I. On extrait la racine carrée Sun monôme entier en extrayant la racine carrée du coefficient et divisant par deux tous les exposants. Je dis, par exemple, que
Car, si Ton élève le second membre au carré, on reproduit 49a«6*c'.
Pour qu'un monôme entier soit carré parfait, c'est-àdire pour qu'il existe un monôme entier, qui, élevé au carré, reproduise le nombre proposé, il est nécessaire que son coeflScient soit un nombre carré parfait et que tous ses exposants soient pairs.
1 30. Corollaire II. On fait sortir du signe radical un facteur carré parfait ^ en en prenant la racine carrée. Soit l'expression
162 UTR£ m. — GHAP. I.
En extrayant la racine de chaque facteur séparément^ on éo^ira
Ceci permet de simplifier les expressions irrationnelles. Soit l'expression irrationnelle
On remarque que la quantité placée sous le signe radical peut être décomposée en deux facteurs
dont le premier est carré parfait. Si Ton extrait la racine de chacun des deux facteurs séparément, on a
Réciproquement, on introduit un facteur sous le signe ra-r dical en T élevant au carré. Ainsi
as/b= sla^b. -
131. Théoïiême IV, On êlèvê une fracti&nmiearréi en élevant séparément au carré le numérateur et le dénominatêuf.
Car, si l'on multiplie la fraction r- par elle-même, on a
li% Théobëhe y. Réciproquement, on cittruit la r^ne tarrée dune fraction en extrayant séparément la raains 4lu mfmérotêur et du dénominateur é Ainsi
Car, si Ton élève le second membre au carré, on repro-
duit la fraction t«
GAKRÊ BT RACINE CARRÉE. 1(^
Transformation des expressions irrationnelles,
133. On simplifie le calcul des expressions irrationnelles en transformant ces expressions de manière à rendre le dénominateur rationnel. Voici quelques exemples de semblables transformations fréquemment usitées en algèbre.
On a multiplié par sj'l les deux termes de la fraction. 2** Soit l'expression
Si Ton multiplie le numérateur et le dénominateur par
\la — ^ , le dénominateur, étant le produit de la somme de deux quantités par leur différence, égale la différence a— 6 de leurs carrés^ et devient rationnel. On a donc
On a de même
en multipliant le numérateur et le dénominateur par la
somme sfa + y^.
Exemples :
2v^5 — 5 sji ^
On a multiplié le numérateur et le dénominateur par la somme 2^ -|- 3^/2, ce qui rend le dénominateur égal à
i6â LIVRE Ilf. — CHAP. I.
la différence des carrés, 4x5 — g x 2 = 20 — 18 = 2. On a supprimé le facteur 2 commun au numérateur et au
dénominateur, puis on a multiplié 2y/5 + 3 ^/a par \fjy
ce qui donne 2v^35 -f 3y/74; car y(5 x v/7 = \/5 x 7 =
y^35, et de même y^ X v^== \/2 X 7 = v^i4- 3' Soit l'expression
Si Ton multiplie le numérateur et le dénominateur par la
différence (y/a + y^ft) — y^c, en considérant \/a + sjb comme ne formant qu im seul terme, on a
^a -{- ^b '\- sfc (\/û + V^)— ^ a + 6 — c+a^ai
Cette dernière expression ne renferme plus qu un seul terme irrationnel à son dénominateur. On considérera a + 6 — c comme ne formant qu*im terme et Ton multipliera
par la différence (a + ^ — ^) — ^y/ôft ; l'expression devient ainsi
m[sfâ+sjb^s]c\[a'\'b — c — ay/ô^) ^ le dénominateur est rationnel.
