CHAPITRE IL
nÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ.
Résolution de V équation x^ = Â.
134. Toute équation du second degré à une inconnue peut être mise sous la forme
ax* + ôar + c=o,
dans laquelle x désigne l'inconnue, et les lettres a, 6, c des quantités connues. Elle contient trois termes, un du second degré ox*, un du premier degré bx, et un terme connu c. Considérons d'abord le cas où l'équation ne renferme pas de terme du premier degré. Soit, par exemple, l'équation
Il faut trouver une quantité qui, élevée au carré, donne 2 5. Or le nombre 5, élevé au carré, donne 26; que l'on affecte ce nombre 5 du siçne + ou du signe — , son carré sera toujours égal à 26; car on sait que le carré d'ime quantité négative est positif. Ainsi l'équation admet les deux solutions + 5 et — 5, ce qu'on écrit
x = zt5,
[Ksez ic.égak plus ou moins 5). L'équation n'admet aucune autre solution ; car le nombre 5 est le seul nombre dont le carré égale 2 5.
En général soit l'équation
166 LIVRE m. — CHAP. If.
dans laquelle A représente une quantité positive donnée. Désignons par ^/A le nombre, commensurable ou incommensurable, dont le carré est A; ce nombre, afTecté du signe + ou du signe — , aura toujours son carré égal à A; ainsi F équation proposée admet deux solutions égales et de signes contraires + >/Â et — y^Â, ce qu'on écrit
Ces solutions s'appellent aussi les racines de l'équation, parce qu'on les obtient au moyen de l'extraction d'une raeiae cairée. Mais cette dénomination a été étendue aux solutions des équations de tous les degrés.
Résolution de V équation x' + px + q == o,
1 35, Considérons maintenant l'équation générale du sqcond degré
ax^'\-bûP'\-c=o.
Si nous divisons tous les termes par le coefficient a» cette
équation devient
9* + p^ + q = o, en représentant pour abréger par les lettres p et 9 les quantités connues - et -.
Afin de mieux faire comprendre la méthode, nous Texpliquerons d'abord sur un exemple. Soit l'équation
Si l'on fait passer dans le second membre le terme connu, cette équation devient
Les deux termes x^ — \l\x peuvent être considérés comme les deux premiers termes du carré du binôme x — 7 ; et en efTet, le carré de ce binôme est ^* — 1 4^ + 49 ; pour compléter le carré, ajoutons 49 aux deux membres de Téquation, nous aurons
a?'— i4ar+ 49=49—40 = 9, ou
(:zr— 7)«=9,
en remplaçant le premiej membre par Texpresssion équivalente {x — 7)*. Cette dernière équation est évidemment équivalente à l'équation proposée.
La quantité x — 7 doit être telle que son carré égale 9 ; or le nombre 5, affecté du signe + ou du signe — , a son carré égal à 9, et c'est le seul nombre dont le carré égale 9 ; on
dwt donc avoir
X — 7 =• it: 3, d'où
lèsiA Téqpiatioii proposée admet les deux solutions
On peut vérifier en effet que chacun des nombres 10 et 4» mis à la place de x^ satisfait à l'équation
x^ — i43î-[- 40 = o, c'esti-à-dire annule le premier membre.
136. La méthode précédente s'applique sans difficulté à Fëçtuition générale
Si Ton fait passer le terme connu dans le second membre, cette équation devient
a:*-|- 'pxz=^ — q.
Les deux termes x^ + f^ ^nt les deux premiers termes du
carré du binôme a? + -; et en efTet, si Ton forme le carré
de ce binôme d'après la loi connue, on a
Pour compléter le carré, ajoutons 7- aux deux membres de
l'équation, l'équation devient
et peut être mise sous la forme
ht)'-î-^-
Nous supposons que la quantité connue 7- — ç est positive.
L'équation étant mise sous cette dernière forme , on voit que la quantité inconnue x + - doit être telle que son
carré égale la quantité connue Ç — q; or, si nous désignons
par i/y — 5 la racine carrée arithmétique du nombre
positif^ — g, c'est-à-dire le nombre positif, commen-
surable ou incommensurable, dont le carré égale - — g,
la quantité inconnue a? + - doit être égale au nombre
donc
^ -g, affecté du signe + ou du signe — • On aura
ÉQUAKONS DU SECOND OEGBÉ. 169
d'où l'on déduit
Telle est la formule générale dont on se sert pour résoudre les équations du second degré ; elle donne deux solutions, Tune fournie par le signe + placé devant le radical, l'autre par le signe — . Il est bon de se la rappeler par cœur ; on l'énonce ainsi : les detuc racines d^nne équation du second degré ^ mise sous la forme
a:* + px + y = o,
égalent la moitié du coefficient du terme du premier degré changé de signe^ plus ou moins la racine carrée du résultat obtenu en retranchant du carré de cette moitié le terme connu.
137. Applicpions cette formule à quelque^ , exemples : 1» Résoudre l'équation
a:' + ex + 8 = o.
La formule donne
a; = — 3it:V^9 — 8 = — 3dzv^î = — 3±:i.
L'équation admet les deux solutions
x=: — a, jr= — 4-
2" Résoudre Téquatk»
x^ — 7a:-}-io = o.
La formule donne
aV4 2 \ ^ 2 2
L'équation admet les deux solutions
170 LIVKE m. — CHAP. ÎI.
5^ Résoudre Téquation
x'+ 4*^ — la = 0.
La formule donne
V équation admet les deux solutions
il<^ Hésoudre l'équation
a;* — 3a? — 4 es o.
La formule donne
L'équation admet les deux solutions
Racines égalu*
138. Dan» ce qui précède, après avoir mis l'équation du second degré sous la forme
nous avons supposé que le second membre est une quantité positive, et nous en avonsrdéduit la formule
— !*Vî^-
qui nous donne les deux racines, ou les deux solutions de l'équation.
Lorsque la quantité^ — q est nulle, l'équation devient
ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. I7l
Le premier membre est un carré pàrfeît. La quantité inconnue X + --, devant avoir son carré nul, doit être nulle elle-
même; ainsi Ton a
d'où
L' Ration n'admet plus qu'une aeule scduticm û^w\ — -.
Cependant on a coutume de dire que, dans ce cas, l'équation admet detia? racines égales. En voici la raison : suppo-
sops que la quantité j q soit positive et très-petite ; les
deux racines, données par la formule générale, différeront très-peu de — -, l'une en pliis, l'autre en moins, et par conséquent différeront très-peu l'une de l'autre. Plus la quantité - — g sera petite, plus les deux racines se rapprocheront l'une de l'autre ; et enfin, à la limite, quand la quanété 7- -^ « sera nnlle, les ijçux racine» deyiwdront égalas entre elles.
Racines imaginaires.
i 39. Les carrés des quantités, soit positives, soit négatives, étant toujours positifs , il s'ensuit que les quantités négatives n'ont pas de racines carrées. Ainsi, lorsqu'en résolvant une équation du second degré, on est amené à extraire la racine carrée d'une quantité négative, il y a évideinment impossibilité de satisfaire à l'équation; dans ce cas, les formules donnent des valeurs fictives qui ont été
172 LIVRE m. — CHAP. II.
introduites dans l'analyse mathématique sous le nom de quantités imaffinaires.
Considérons d'abord l'équation
Quand la quantité A est positive, l'équation admet les deux solutions
j? = ziz /Â.
Mais quand la quantité A est négative, comme il n'existe aucun nombre, soit positif, soit négatif, dont le carré égale A, il y a impossibilité de satisfaire à l'équation. Cependant la formule donne des valeurs imaginaires qui satisfont également à l'équation, si Ton convient de regarder le symbole
v/A comme ayant toujour3 son carré égal à A, quelle que soit la valeur de A, positive ou négative.
Ainsi on dira que l'équation
admet les deux solutions imaginaires
On représente ordinairement par la lettre i le symbole
\/ — 1 , et l'on introduit la lettre i dans les calculs, comme si elle représentait une quantité réelle, en convenant que son carré t' égale — i.
Toutes les valeurs imaginaires peuvent être exprimées au
moyen du symbole v^— i ou de^.la lettre i. Par exemple, l'équation
admet les deux solutions imaginaires
Si l'on observe que — 9 = 9 x ( — 1) et si l'on applique
le théorème ordinaire sur la racine d'un produit, on écrira d'où
j? = it 5ï.
Considérons maintenant Téquation
x* — 6x '\- i3 = o, qui se met sous la forme
Un carré ne pouvant être égal à la quantité négative — 4» il est impossible de satisfaire à F équation par des valeurs réelles. Mais, en extrayant la racine, on est conduit aux valeurs imaginaires
^ — 5 = ± v^ — 4, d'où
a? = 3 di \/— 4;
en observant que y/ — 4 = A X y/ — i = 21, on les écrira
or = 5 ±: 2e.
Il en est de même de l'équation générale
a:* + /)ar + î = o^
toutes les fois que la quantité Ç — g est négative. Car, cette
équation étant mise sous la forme
on voit qu'il y a impossibilité d'y satisfaire par des valeurs réelles ; mais on obtient les valeurs imaginaires
qui satisfont à l'équation, en convenant, comme nous l'a-
174 WVRE in. — CHAP. II.
. vons dit déjà, que le carré du symbole! /^ q égale
— q dans tous les cas. Il en résulte pour x les deux Vâ*
leurs imaginaires
OU
On ramène ainsi ceâ deux valeurs à la forme a ±l 6i\ en
représentant par a et 6 les deux quantités réelles — - et
140. Ainsi les quantités imaginaires sont des eipressions de la forme
a + biy
dans laquelle les lettres a et 6 représentent des quantités réelles quelconques (par opposition, on dit que les quantités ordinaires, positives ou négatives, sont réelles). On a étendu aux quantités imaginaires les règles ordinaires du calcul algébrique, comme si la lettre i désignait une quantité réelle, en convenant de remplacer dans les résultats f* par En résumant ce qui précède, on voit que l'équation
* a?* -^ pa? -)- 5^ ^=: o,
présente trois cas principaux :
1° Lorsque la quantité ^ — ^ ç est pmHve^ l'équation a ses
deux racines réelles et inégales.
2*» Lorsque la quantité ^ — g est nvlle, Féquation a ses
deux racines égales. Ces deu^ racines égales sont toujou^ réelles ; car dans ce cas le radical est nul.
3" Lorsque la quantité - — g est négative, Téquation a
ses deux racines imaginairêê.
Résolution de Inéquation ax* + ^^ + ^ = o«
l&l. Nous ayons ramené Féquation générale du second
degré
ûjr* + te -f e = o à la forme
en divisant tous ses termes par le premier coefficient a, et posant
Résolvant cette dernière» nous avons trouvé la formule
Si, dans cette formule, nous remplaçons les lettres p et g
b c par leurs valeurs - et - , elle devient
aa V 4û* a aa \ 4^* aa aa
Nous avons réduit au même dénominateur 4^* les deux termes placés sous le radical, et nous avons extrait la racine de ce dénominateur, carré parfait. Nous obtenons ainsi * la formule
mmk^^^tkimn lit
— 6=hV/*'— 4«g qui est souvent usitée dans la pratique.
Elle présente les mêmes cas principaux que la formule primitive: i® quand 6' — 4«c > o, les deux racines sont réelles et inégales; 2° quand 6* — 4ac = o, les deux racines sont égales; quand 6* — àac < 0, les racines sont imaginaires.
142. Remarque. Il arrive souvent que le coefficient b contient le facteur 2. Dans ce cas, la formule peut être un peu simplifiée, ce qui la rend plus commode dans les applications. Posons 6 i= 26', la formule devient
— a^dz v/46^'~4ac — a^ dz a ^W^c aa aa
et si l'on divise par 2 le numérateur et le dénominateur,
Soit, par exemple, l'équation
Le second coefficient étant im nombre pair, on emploiera la dernière formule, et Ton écrira
Décomposition du trinôme du second degré en facteurs
du premier degré.
